上海大学_王培康_数值分析大作业.docx

数值分析大作业  PAGE \* MERGEFORMAT 8 数值分析大作业（2013年5月） 金洋洋，机自系 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它 们的绝对误差限, 相对误差限和有效数字的位数。 X1 =5.420, x 2 =0.5420, x 3=0.00542, x 4 =6000, x 5= 解：根据定义：如果的绝对误差限 不超过x的某个数位的半个单位，则从的首位非零数字到该位都是有效数字。 显然根据四舍五入原则得到的近视值，全部都是有效数字。 因而在这里有：n1=4, n2=4, n3=3, n4=4, n5=1 （n表示x有效数字的位数） 对x1：有a1=5, m1=1 （其中a1表示x的首位非零数字，m1表示x1的整数位数） 所以有绝对误差限 相对误差限 对x2：有a2=5, m2=0 所以有绝对误差限 相对误差限 对x3：有a3=5, m3=-2 所以有绝对误差限 相对误差限 对x4：有a4=0, m4=4 所以有绝对误差限 相对误差限 对x5：有a5=6, m5=5 所以有绝对误差限 相对误差限 2.对矩阵A 进行LU 分解， 并求解方程组 其中 ， 解：A=LU代入方程可转化为 先对矩阵A进行LU分解，如下 根据系数相应相等有：第一行：，， 第二行：，可得 ，可得 ，可得 第三行：，可得 ，可得 ，可得 所以有： 解方程如下 ，可得 ，可得 3. 用 J 迭代法和 G-S 迭代法求解方程组 时， 若取初始解向量， 问各需迭代多少次才能使误差。 解： 可知方程组的系数矩阵为， 将A写成A=D-L-U的形式为 对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为： ， 可得： ， 我们知道对J迭代法来说其迭代的矩阵表示式为 对G-S迭代法来说其迭代的矩阵表示式为 在这里有 ， 对J迭代法有： ，已知 故得 对G-S迭代法有： ， 已知 故得 由定理可知：对于方程组，如果，则：有误差估计式 可得：，在这里有，，符合上述条件。 故对J迭代法有： ，取k=14 ，知共需迭代14次才能使误差。 故对G-S迭代法有： ，取k=11，知共需迭代11次才能使误差。 4. 给定方程组 ， 取，分别用J迭代法和 G-S 迭代法求解，问是否收敛？若收敛，则求出满足的解。 解：对方程组（1） 可知方程组的系数矩阵为， 将A写成A=D-L-U的形式为 对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为： ， 分别求B和G的特征值：对B有，得 故可得。 对G有，得 故可得。 故可知：J迭代法和G-S迭代法求解方程组（1）时均不收敛。 对方程组（2） 首先判断其收敛性： 可知方程组的系数矩阵为， 将A写成A=D-L-U的形式为 对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为： ， 分别求B和G的特征值：对B有，得 故可得。 对G有，得 故可得。 故可知：J迭代法和G-S迭代法求解方程组（2）时均收敛。 【其实这里有更简单的判定方法：即通过方程组的系数矩阵A是严格的主对角占优的，故对两种迭代法都收敛。】 下面来进行具体求解： 对J迭代法来说其迭代的矩阵表示式为，其中 对G-S迭代法来说其迭代的矩阵表示式为其中 我们可得J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为： ， 这里显然可得该方程组的精确解为 代入上公式经整理可得下表： 对J迭代法： K01.011.010.5110.660.9950.25520.671.170.1730.5533331.1650.08540.5566671.2233330.05666750.5177781.2216670.02833360.5188891.2411110.01888970.5059261.2405560.00944480.5062961.2470370.00629690.5019751.2468520.003148100.5020991.2490130.002099110.5006581.2489510.001049120.5006991.2496710.0006990.001此时：，结束计算，知解为 对G-S迭代法： K01.011.010.5110.661.170.1620.5533331.2233330.05333330.5177781.2411110.01777840.5059261.2470370.0059265