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幂级数 一、函数项级数 二、幂级数及其收敛性—正幂项级数 证明 三、收敛圆与收敛半径 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种： 例1 求幂级数 解: 级数实际上是等比级数, 部分和为 收敛半径的求法 例2 求下列幂级数的收敛半径 四、 幂级数的运算和性质 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 更为重要的是代换(复合)运算 这种代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用. 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.收敛特征—Abel定理 定理一 x y O . iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设 (正实数)时, 级数收敛, (正实数)时, 级数发散. 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. b Cb a Ca R CR O x y 显然 时,将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. 当 由小逐渐变大时, 必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以 为中心的圆域. 在收敛圆上的收敛性, 则不一定. 的收敛范围与和函数. 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform