11第十一讲 孤立奇点.ppt

练： 练： 函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f(z)的孤立奇点. 将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类. 1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时, f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数: c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....因此, 这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数, 且当z?z0时, F(z)=f(z); 当z=z0时, F(z0)=c0. 由于 所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|d内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而函数f(z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所以z0称为可去奇点. 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+... (m?1, c-m?0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+... 在|z-z0|d内是解析的函数, 且g(z0)?0. 反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式, 且g(z0)?0时, 则z0是f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有 3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点. 中含有无穷多个z的负幂项. 在本性奇点的邻域内, 函数f(z)有以下的性质(证明从略): 如果z0为函数f(z)的本性奇点, 则对任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列, 当z沿这个数列趋向于z0时, f(z)的值趋向于A. 例如, 给定复数A=i, 我们把它写成 不含z-z0的负幂项 练： 4.函数的零点与极点的关系  不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 f(z)=(z-z0)mj(z), (5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)?0, m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.例如当f(z)=z(z-1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点, 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析, 则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)?0 (5.1.3) 这是因为, 如果f(z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...易证z0是f(z)的m级极点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0, cm?0,这等价于 f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)?0 (5.1.3) 例如z=1是f(z)=z3-1的零点, 由于f (1)=3z2|z=1=3?0, 从而知z=1是f(z)的一级零点. 由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)?0, 因而它在z0的邻域内不为零. 这是因为j(z)在z0解析, 必在z0连续, 所以给定 所以f(z)=(z-z0)m j(z) 在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的. 由此, 当z?z0时, 得 而y(z)=1/j(z)在z0解析, 并且y(z0)?0, 所以z0是f(z)的m级极点. [证毕] 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法. 5. 函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无穷远点z=?的去心邻域R|z|?内解析, 称点?为f(z)的孤立奇点. 规定： 如果t=0是j(t)的可去奇点, m级极点或本性奇点, 则称点z=?是f(z)的可去奇点, m级极点或本性奇点.由于f(z)在R|z|+?内解析, 所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8), 如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有限多的负幂项, 且t-m为最高幂, iii)含有无穷多的负幂项, 则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点, iii)本性奇点. ii)含有限多的正幂项, 且zm为最高幂;