12第十二讲 留数.ppt

不含z-z0的负幂项 z0是f(z)的m级零点 f(z) 在z=?的性态 练： 留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那末根据柯西-古萨基本定理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2πic-1外, 其余各项积分都等于零, 所以 其中c-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Res[f(z),z0], 即 定理一(留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 [证] 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0, 因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式. 如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开. 如果z0是极点, 则有一些对求c-1有用的规则. 留数的计算规则规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则 规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则 事实上, 由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+... +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+..., 令两端z?z0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0], 因此即得(5.2.5), 当m=1时就是(5.2.4) 令z?z0, 即得(5.2.6) 由规则1, 得 我们也可以用规则III来求留数: 这比用规则1要简单些. 有时死套公式也不一定很方便. 例如欲求函数 应用公式 ，得 而这时用洛朗展开式求c-1就比较方便, 因为 观察公式 的推导过程, 不难发现, 如果函数f(z)的极点z0的级数不是m, 它的实际级数要比m低, 这时表达式 在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域R|z|?内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分 的值与C无关, 称其为f(z)在?点的留数, 记作 由于f(z)在R|z|+?内解析, 所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数, 从(5.1.5)式中的n=-1的情况 定理二 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末f(z)在所有各奇点(包括?点)的留数总和必等于零. 所以 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便. 由于-i与1在C内部, 所以从上式,留数定理与规则IV得到 It’s The End！ Thank You！ C为R|z|+?内绕原点任何一条简单正向闭曲线 因此, 由(5.2.7), 得 Res[f(z),?]=-c-1, (5.2.8) 这就是说, f(z)在?点的留数等于它在?点的去心邻域R|z|+?内洛朗展开式中z-1的系数变号. [证] 除?点外, 设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有 (5.2.9) * * 电子工程学院 可去奇点 m级极点 本性奇点 有限多个z-z0的负幂项 无穷多个z-z0的负幂项 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. 零点和极点的关系如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是1/f(z)的m级零点, 反过来也成立. f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)?0 判断函数在?的极限 t=1/z判断函数f（1/t）在t=0的性态 函数f（1/t）在t=0的邻域洛朗级数展开式包含t的负幂次项的情况 函数f（z）在z=?的邻域洛朗级数展开式包含z的正幂次项的情况 有两个一级极点+1,-1 有一个级三极点0 z=0是z-sin z的三