13_洛朗级数.ppt

本章重点与难点 洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 洛朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法. 讨论下列形式的级数: 可将其分为两部分考虑: 只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2： 这是t 的幂级数, 设收敛半径为R： 对负幂项, 如果令 t =(z-z0)-1, 可得： 则当|z-z0|R1, 即|t|R 时, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛. z0 R1 R2 例如级数 在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积分和逐项求导。 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。 其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数: 1 O x y 定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。 C z0 R1 R2 称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 解： 函数f(z)在圆环域 i) 0|z|1; ii) 1|z| 2; iii) 2|z| +? 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数. x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 先把f(z)用部分分式表示: ii) 在1|z| 2内： iii) 在2|z|+?内: 例2 把函数 解：由 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数。 在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个: 1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+?中的洛朗展开式; O -i i 在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上. 因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0|z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i|+?中的洛朗展开式。 特别的，当洛朗级数的系数公式 （即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析。 例３ 解： 例4 解： 故c-1=-2, 关于 的洛朗级数 “惟一性” 的理解与运用 函数所展泰勒级数的收敛半径确定方法 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform