2-3节调和函数10.pdf

§2.3解析函数与调和函数 调和函数 : 如果实二元函数 u(x , y ) 在区域D 内有二 阶连续偏导数, 并且满足 Laplace 方程: 2 2 ∂ u ∂ u + 0 ∂x 2 ∂y 则称u(x , y ) 为区域D 内的调和函数。 定理 任何在区域 D 内解析的函数, 它的实部和虚部 都是D 内的调和函数。 证:设f (z ) u +iv 为D 内的解析函数, 则 ∂ ∂ ∂ ∂ u v u v , − ∂x ∂y ∂y ∂x 2 2 2 2 ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v 从而 2 , 2 − ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y 由于解析函数具有任意阶导数且解析, 则u 与 v 具有任意阶连续偏导数, 所以 2 2 ∂ v ∂ v ∂y ∂x ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v 从而 + 0 同理 + 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 即u、v 都是调和函数。 共轭调和函数： 满足C −R条件的两个调和函数u(x , y ) 和v(x , y )称为互为 共轭调和函数。 解析函数与调和函数的 关系： 若f ( z ) u +iv 在D 内解析, 则u( x , y ) 与v( x , y ) 必互为共轭调和函数。 反之，设 u(x , y )、v(x , y ) 是D 内任意两个调和函数 , 并且 u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ , − ∂x ∂y ∂y ∂x 则 u(x , y ) +iv(x , y ) f (z ) 在D 内解析。 已知一个调和函数 u(x , y ), 求它的共轭调和函数 v(x , y ), 从而构成一个解析函数 u +iv 。 例1 验证 u(x , y ) y 3 −3x 2 y 为调和函数, 并求其共轭 调和函数 v(x , y ), 从而构成一个解析函数 f (z ) u +iv 解: 因为 2