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4-4节洛朗级数14
§4.4 洛朗级数
问题：当f ( z ) 在z 不解析时, f ( z ) 在解析区域 | z z |R
0 −
0 0
或在r | z −z0 |R 内是否可以展开成幂级数?
1. 洛朗( Laurent ) 级数
1
例 f (z ) , 当0 | z −1 |1 时
(z −1)(z −2)
1 1 1 1
f (z ) − − −
z −2 z −1 z −1 1 −(z −1)
∞
−(z −1)−1 + (z −1)n
∑
n 0
2008-12-16 1
洛朗级数 : 既有正幂次项 , 同时又有负幂次项的级 数
一般形式 :
+∞ −1 ∞
a (z −z )n a (z −z )n + a (z −z )n
∑ n 0 ∑ n 0 ∑ n 0
n −∞ n −∞ n 0
L+a n (z −z )−n +L+a (z −z )−1
− 0 −1 0
+a +a (z −z ) +L+an (z −z )n +L
0 1 0 0
∞
正幂次项级数 a (z −z )n
∑ n 0
n 0
−1
∞
负幂次项级数 ∑an ( z −z0 ) n ∑a−n (z −z0 )−n
n −∞ n 1
2008-12-16 2
标准形式 :
+∞ −1 ∞
n n n
∑a z ∑a z + ∑a z
n n
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