4.4_洛朗级数.ppt

* 第四章 解析函数的级数表示 §4.4 洛朗级数 * §4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的“幂级数” 二、洛朗(Laurent)定理 三、将函数展开为洛朗级数的方法 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 引例 根据前面的讨论已知， 函数 在 点的幂级数 展开式为 事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点， 但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开 为 z 的幂级数， 而在 如此广大的解析区域内不能 展开为 z 的幂级数。 有没有其它办法呢？ 一粒老鼠屎，坏了一锅汤！ 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 设想 这样一来，在整个复平面上就有 由 ， 有 从而可得 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数: 一、含有负幂次项的“幂级数” 分析 2. 级数 的收敛特性 将其分为两部分： 正幂次项部分与负幂次项部分。 (A) (B) (1) 对于 (A) 式，其收敛域的形式为 (2) 对于 (B) 式，其收敛域的形式为 根据上一节的讨论可知： 一、含有负幂次项的“幂级数” 结论 2. 级数 的收敛特性 (1) 如果级数 收敛， 则其收敛域“一定”为环域： ① 如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)， 特别地 则其收敛域为： 或 ② 如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)， 则其收敛域为： 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 一、含有负幂次项的“幂级数” 结论 2. 级数 的收敛特性 (1) 如果级数 收敛， 则其收敛域“一定”为环域： 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 (2) 级数 在收敛域内其和函数是解析的, 因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开 为上述形式的级数。 R2 z0 R 1 D 二、洛朗(Laurent)定理 设函数 在圆环域 定理 C 为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 解析, 内 在此圆环域中展开为 则 一定能 其中， 证明 (略) z C (进入证明?) 注 (1) 展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。 二、洛朗(Laurent)定理 R2 z z0 R 1 C D 注 (2) 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数 二、洛朗(Laurent)定理 的解析部分和主要部分。 (3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项 的级数是唯一的。 (4) 系数 ? (5) 若函数 在圆环 内解析，则 在 在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。 三、将函数展开为洛朗级数的方法 1. 直接展开法 根据洛朗定理，在指定的解析环上 R2 z z0 R 1 C D 直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！ 三、将函数展开为洛朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、 代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式 2. 间接展开法 三、将函数展开为洛朗级数的方法 都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前， 注意 的展开区域 )分为若干个解析环。 比如 设函数的奇点为 展开点为 则复平面 被分为四个解析环： r 1 r 2 r 3 1 2 函数 有两个奇点： 以展开点 为中心， 将复平面分为三个解析环： 解 (1) 将复平面分为若干个解析环 ① ② ③ (2) 将函数进行部分分式分解 解 1 2 ① 当 时， (3) 将函数在每个解析环内分别展开 解 1 2 ② 当 时， (3) 将函数在每个解析环内分别展开 解 1 2 ③ 当 时， (3) 将函数在每个解析环内分别展开 i - i 有两个奇点： 以展开点