5 混沌的道路.ppt

无穷维动力系统具有 某些新的重要特征。 首先在空间上存在混沌现象，即在空间某个区域产生混沌湍流，而在另一些区域则不出现。例如下面我们将要举出的绕流问题，就是一个典型的例子，而有限维动力系统仅研究时间上的混沌现象。 其次，在空间的某个部分可能产生奇性集，例如在三维空间的不可压缩流体运动中，速度向量 的旋度 可能在区域的某个部分变成无穷大， 著名数学家J.Leray在1932年就预言此时将产生湍流，因此，对无穷维动力系统的研究，可能为湍流的研究开辟一条新的道路，从数学上来看，在对原来有限维动系统S.Smale,J.Moser，Melnihov等人的研究工作基础上，B.Mandelbrot在1997年提出了分形集的概念，O.A.Ladyzhenskaya, M.I.Vishik, P.Cesnstantin,C.Folas, B.Nicolaenko, R.Temam，J.K.Hale 等人已对某些具有耗散效应的非线性发展方程的整体吸引子、惯性流形，近似惯性流形，指数吸引子等的存在性，它们的Hansdortf维数、Fractal维数的上下界估计，吸引子的某些动点结构和数值方法，非线性Galechin方法，惯性集等问题进行了多方面深入的研究，取得一系列重要的成果，同时，也举出了一些不存在整体吸引子和惯性流形的例子。 从数学上看，从20世纪70年代末至20世纪90年代中期，对于耗散系统，无穷维动力系统已建立了重要的数学理论，提出了理论研究和数值计算的方法，并促进了泛函分析、分形理论，不变流形、计算数学和拓朴学等数学分类的发展和应用，此段时间形成了一个研究无穷维动力系统的热潮，但从20世纪中期至21世纪初期，由于存在许多更为深入和重要问题得不到解决，研究处于迟缓发展的状态，主要问题是： (i)整体吸引子的口袋太大，它所包含不动点(可能多个)周期解、拟周期解、奇异吸引子等，如何将它们充分地加以分类，研究其不同的拓朴结构特征，遇到很大的困难，惯性流形存在的充分条件也过于苛刻等。 (ii)对于保守系统的混沌数学理论的发展目前基本处于空白状态。 (iii) 它和有限维动力系统的相互联系的细致分析非常欠缺。 采取新的研究方法，最近已取得了可喜的成果， (1)近可积无穷维动力系统的研究，即在完全可积系统的基础上，考虑小的耗散扰动下吸引子的拓朴结构，现对一类小扰动下的非线性Schrodinger方程等已证明同宿轨道的不变性，并在空间离散的情况下，证明严格Smale马蹄的存在性，并由此提供了一种研究保守系统走向混沌的研究方法。 (2)已用Bourgain方法，对于具低正则性的初始条件具耗散的非线性发展方程证明了整体吸引子的存在性，大大地改善了原有结果。 (4)无穷维半离散系统建立了相应的无穷维动力系统理论，它有利于和有限维动力系统建立联系。 (5)随机无穷维动力系统，即在原动力系统加上随机扰动项，包括Burgers方程，天气预报方程等已作出了初步的成果。 无穷维动力系统的研究目前正处在新的发展阶段。 (3)对于一类非线性抛物型方程（组）证明了在整体吸引子上存在某一闭子集拓朴共扼于有限维的符号动力系统，即真正时空混沌的存在性。 4. 受驱单摆的混沌道路 (5) F 1.493 在 为周期运动，此后又通过倍周期分岔进入混沌， 时的相图及三个不同截面上的庞加莱图如下。 第4节 湍流道路 1. 湍流是什么？ 2. 湍流道路 液体流动有层流与湍流之分。 层流与湍流 1. 湍流是什么？ 例2 我们注视一支点燃的香烟，一缕青烟从烟头处冉冉升起，上升过程中流速越来越快，突然在某个高度上飘忽开来，青烟从层流转变成了湍流。 例1 当某种透明的液体沿着一个玻璃管道流动，并注入一滴墨水。当管内流速很慢，则墨水沿着管道丝丝延伸的，液体被分成许多层，各层间彼此不相混杂，这是层流。当流速逐渐增大，流体将出现由弱到强的扰动，这时进入湍流状态。 卡尔曼涡街 1. 湍流是什么？ 不同流速下流体绕过圆柱的情况 若圆柱半径为L，流速为v，粘滞系数为h，定义一个无量纲参数 Re (雷诺数)： 当Re很小(Re1)时，流线紧贴圆柱，经圆柱后运动是定常的； 当Re超过某一临界值后，运动变成周期的； 当Re达到10~30时，流线在圆柱后的某处脱离，并在此附近出现一对旋涡； 当Re ≈40左右时，圆柱体后的一个旋涡被拉长并脱离柱体，飘向下游；另一侧的流体弯转过去形成新的旋涡。两侧旋涡交替脱离柱体向下游飘去，形成一种涡