5.1复变函数.ppt

第五章 1、解析函数的洛朗展式 2、解析函数的孤立奇点 3、解析函数在无穷远点的性质 4、整函数与亚纯函数的概念 解析函数的洛朗展式： 解析函数的洛朗展式： 解析函数的洛朗展式： 解析函数的洛朗展式： 解析函数的洛朗展式： 定理7.1： 定理7.1的证明： 定理7.1的证明： 定理7.1的证明： 定理7.1的证明： 注解： 定理7.2： 定理7.2的证明： 定理7.2的证明： 例1： 例1： 例2 例3： 例： 例： It’s The End！ Thank You！ * * Department of Mathematics 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 其中 是复常数。 此级数可以看成变量 的幂级数； 设这幂级数的收敛半径是R。如果 那么不难看出，此级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛， 在 内发散。 同样，如果 ，那么此级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛； 如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在 没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在 内收敛于一个解析函数。 更一般地，考虑级数 这里 是复常数。当级数 都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛； 第二个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛。 于是两级数的和函数分别在 又设 ，那么这两个级数都在圆环 内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数 在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数 为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，我们也有下面的洛朗定理： 定理7.1 设函数f(z)在圆环： 内解析，那么在D内 其中， 是圆 是一个满足 的任何数。 证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环， 使得 ，这里 用 分别表示圆 由于 在闭圆环 上解析，根据柯西定理，有 其中积分分别是沿 关于它们所围成圆盘的正向取的。 当 时，级数 一致收敛； 而当 时，级数 一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式 其中， 由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。 注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式 不能写成： 注解2、我们称 为f(z)的解析部分， 而称 为其主要部分。 注解3、我们称 为f(z)的洛朗展式。 定理7.2 设洛朗级数 在圆环 中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在D内的洛朗展式：。 证明：现在把系数用g(z)计算出来。在D内任取一圆， 用 乘以定理中展式的两边， 然后沿 求积分。由于所讨论的级数在 上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有 这里因为上式中求和记号 后各项只有在n=k时不为零，因此定理的结论成立。 注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g(z)在D内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理： 系4.1 在定理7.1的假设下，f(z)在D的洛朗展式式唯一的。 例1、求函数 分别在圆环1|z|2及 内的洛朗级数展式。 解：如果1|z|2，那么 利用当 时的幂级数展式 我们得 如果 ，那么 我们有 例2、?? 及 在 内的洛朗级数展式是： 例3、?? 在 内的洛朗级数展式是： 例、求函数 在圆环1|z|3 内的洛朗级数展式。 解：由于1|z|3，那么 利用当 时的幂级数展式 我们得 Complex Function Theory Department of Mathematics 章