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第二章习题课 一、小结 1.波函数的统计解释 波函数的模方 代表t时刻粒子出现在 处的概率密度。 2.态叠加原理 若 是体系的可能状态，则 也是体系的一个可能状态。 3.薛定谔方程 4.连续性方程 5.定态薛定谔方程——能量本征值方程 6.含时薛定谔方程的一般解 7.一维无限深势阱 8.线性谐振子 二、例题 1.若描述粒子状态的波函数为 ，式中 为实常数，求该粒子的坐标取值概率密度函数。 解： 归一化 粒子的坐标概率密度为 概率密度极大值 2.半壁无限高势阱的位势为 求粒子能量在 范围内的解。 解： 令 则 下面由波函数的标准条件定解。 有限性： 连续性： 此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。 讨论： （1） 若 ，则 这正是一维无限深势阱的结果。 （2）束缚态存在的条件 令 则 它们的交点就是束缚态能级满足的解。由图知，至少存在一个束缚态的条件为 称为势阱强度。上式表明，当势阱强度小于 时，不存在束缚态。 解法一： 阱内： 因为 ，所以 具有确定宇称。 因此 偶宇称 奇宇称 由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为1。 3.有限深对称方势阱 讨论束缚态能级和波函数。 阱外： 阱外右边： 因为 ， 所以 阱外左边： 因为 ， 所以 偶宇称 奇宇称 注意：若波函数是偶宇称，则取“+”；若波函数是奇宇称，则取“-”。且阱内外波函数应连续，如图所示。 （1）对偶宇称 时， 、 连续，则 引入： 则 时， 、 连续，结果相同。 利用 （2）对奇宇称 时， 、 连续，则 图中两曲线交点即为方程组的解。显然，粒子至少有一个束缚态能级。 偶宇称 奇宇称 上面两式可以合并成一个： 解法二： 有限性： 连续性： 两种方法结果一致。