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常微分数值方法部分课后习题答案
第二章 偏微分方程的有限差分法 - 1 -
第二章 椭圆型微分方程的有限差分法
1 用积分差值法推导逼近微分方程(2.1)的差分方程
d ⎛ du ⎞ du
Lu ≡− ⎜p ⎟+r +qu f , a = x b . （2.1 ）
dx ⎝ dx ⎠ dx
解: 将区间[a,b]进行 N 等分, 记结点x a =+ih, i 0,1, , N . 在内点x (i 1, , N −1) 处离散方程.取区间
i i
[x 1 ,x 1 ] , 在其上对方程积分, 得
i− i+
2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
i+ d ⎛ du ⎞ i+ du i+ i+
∫x 2 − ⎜p ⎟dx +∫x 2 r dx +∫x 2 qudx ∫x 2 f dx , (2.2)
i−1 dx ⎝ dx ⎠ i−1 dx i−1 i−1
2 2 2 2
计算(2.2)第一项, 有
x 1 x 1 x 1
⎡ du ⎤ ⎡ du ⎤ i+ du i+ i+
⎢p ⎥ 1 −⎢p ⎥ 1 +∫x 2 r dx +∫x 2 qudx ∫x 2 f dx , (2.3)
⎣ dx ⎦i − ⎣ dx ⎦i+ i−1 dx i−1 i−1
2 2 2 2 2
利用 Taylor 展开式, 有
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 4
( ) ( )= ( ) ( )+
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