Ch4.1 随机变量的数学期望.ppt

第一节 数学期望 例9 求数学期望E(eX)，若 (1)X~P(3); (2) X~B(n,p); (3) X~N(1,4). 例10 例10 例11 解 于是 例12 解 因此所求数学期望为 三、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); （诸Xi相互独立时） 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 四、数学期望性质的应用 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的,此方法具有一定的意义. 五、课堂练习 1 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 2 设随机变量X的概率密度为 1 解 设试开次数为X, 于是 E(X) 2 解 Y是随机变量X的函数, P(X=k)=1/n, k=1, 2, …, n 解 从数字0, 1, 2, …, n中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 一般的 3 * 概率论与数理统计 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 一、数学期望的概念 即 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数 绝对收敛， 则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为 , 若级数发散 ，则称X的数学期望不存在。 定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如 果积分 绝对收敛，则称该积分的值 为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即 如果积分 发散，则称X的数学期 望不存在。 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 试问哪个射手技术较好? 思考 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品4种，相 应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级 的产值分别为10元、5.8元、4元及0元，求这批产 品的平均产值。 解 设一个产品的产值为X元，则X的可能取值 分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为 7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布， 由数学期望的定义求得产品的平均产值为 EX = 4×0.13 + 5.8×0.2 + 10×0.6 = 7.68（元）。 1/6 3/6 2/6 概率 8:10 8:30 8:50 9:10