D5_6多元函数微分学在几何上的简单应用-陈.ppt

或 法平面方程 (2) 曲线弧由极坐标方程给出: 例 计算摆线 补充题 1. 求曲线 2. 证明曲面 一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续 映射的像， 从而S的方程可表为 或写成向量的形式 此二式称为曲面的参数方程， 曲面上的曲线的表示 若在D中固定 则此映射r下的像点的集合应是 曲面S上的一条曲线， 称为曲面S上的u曲线， 方程是 同理可得曲面S上的v曲线的方程为 这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v 曲线，它们的交点就是P。 u曲线族和v曲线族构成曲面S 上的参数曲线网。 曲面S可以看成 是映射r将平面uOv上 的区域D在R3中变形 后得到的，而D内的 坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。如图 即为球面的经线。 即为球面的纬线。 复习 例6.7 机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是 当长为l的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的 轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向 下运动时，该直线段的运动轨迹，试建立它的方程。 解 建立坐标系，使运动开始时直线段位于x轴的正 方向上，且直线段以原点为起点。 记为OM。 设OM的旋转角速度为 垂直移动的速度为b0. 正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。 令 于是正螺面的参数方程为 曲面的切平面与法线 曲面S的参数方程为 其中r在D内连续，在点 存在偏导数 且 （点 称为曲面的正则点） 曲面S上过点 的u曲线为 其在 的切向量为 在点 的切向量为 同理可得v曲线 上述u曲线和v曲线的切线 若 是正则点，所以向量 不平行， 以 为法线方向 确定了一个平面 它是过点 且 向量的平面。 其方程为 在S上过点 任一条光滑曲线 其中 上式两端在 处对 求导， 是何种关系？ 曲面S上过点 的任一曲线在点 的切线与平面 线性表示， 于是曲线 在点 的切向量可用 故曲线 在点 的切线必在平面 上。 由曲线 的任意性知：曲面S上过点 的任一曲线在 点 的切线均在平面 上。 于是称平面 为曲面在点 的切平面。 过点 且 垂直于切平面 的直线称为曲面在点 处的法线。 的方向向量称为法向量。 法线 于是S在点 的切平面方程是： 法线方程为： 若 均在区域D内 连续， 则称曲面S是一光滑曲面。 若曲面S的方程是直角坐标方程 且 不妨设 确定二元函数 于是方程 于是得曲面的参数方程 于是 故法向量取 于是曲面在点 的切平面方程为： 法线方程为： 若曲面S的方程是直角坐标方程 于是曲面在点 的切平面方程为： 法线方程为： 全微分的几何意义 二元函数 在点 的全微分为 二元函数的全微分是：用切平面上的改变量 代替曲面上的改变量。 ----局部线性化 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的弧长 第六节 一、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学在几何上的简单应用 第五章 一、空间曲线的切线与法平面 1、空间曲线 的参数方程: ? 可以看作是从区间 的一个连续映射 r 的像, 的轨迹就是曲线?。 r (t)的像就是向径 当 t 在区间 上变化时向径 的终点M 曲线也可以写为 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 设空间曲线? 的方程为 2. 简单曲线和有向曲线 上连续， ? 为连续曲线； 如果向量值函数r(t)在区间 如果? 为连续曲线， 且任取 都有 ， 即在 上r(t)为单射， 则称? 为简单曲线。 如果? 为简单曲线, 且 则称? 为简单 闭曲线。 则称 对于选定了参数t的曲线?，我们规定t增大的 的方向为曲线的正方向。对于规定了方向的曲线， 我们称为有向曲线。一般讨论的曲线均为有向曲线。 3.空间曲线的切线与法平面 设空间曲线? 的方程为 其中向量值函数r(t)在 上可导 切线方程。 我们来讨论? 在点 处的 与平面曲线的切线一样， 空间曲线上点 处的切线也定义为曲线 当点P沿曲线趋向于点 时的极限位置 处的割线 上过点 要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。 。从而向量 为此在 的临近取点 与P对应的向径分