数值分析 李庆杨 Cht6-8习题课.pdf

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数值分析 李庆杨 Cht6-8习题课

第6-8章 习题课 (线性方程组迭代解法,解非线性方程,矩阵特征值) 一、解线性方程组的迭代法 基本内容及基本要求 1. 了解迭代法及其收敛性的概念。 2. 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 3. 了解一阶定常迭代法的基本定理,掌握特殊方程组 迭代法的收敛条件。 4. 知道分块迭代法。 雅可比迭代法计算公式:对k=0,1,…, x (0) (x (0) ,,x (0) )T ,  1 n n x (k 1) (b  a x (k ) ) / a , (i 1,,n)  i i j1 ij j ii  j i 借助矩阵分裂 Dx (k 1) Lx (k )  Ux (k ) b 得到矩阵表示  (k 1) 1 (k ) 1 (k ) x D (L  U)x D b BJ x  f 高斯—塞德尔迭代法计算公式:对k=0,1,…,  x (0) (x (0) ,,x (0) )T ,  1 n  (k 1) i1 (k 1) n (k ) x (b  a x  a x ) / a , (i 1,,n)  i i  ij j  ij j ii  j 1 j i1 采用矩阵A 的分裂记号, 迭代法等价于 Dx (k 1) Lx (k 1)  Ux(k ) b 于是,高斯塞德尔迭代法的矩阵表示形式为  x (k 1) (D L)1Ux(k ) (D L)1b BGx (k )  f SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…, x (0) (x (0) ,,x (0) )T ,  1 n i1 n x (k 1) x (k ) (b  a x (k 1)  a x (k ) ) / a ,  i i i  j  j ii  ij ij  j 1 j i (i 1,2,,n),  松弛因子  0.  采用矩阵A 的分裂记号, 化为 Dx (k 1) Dx (k ) (b Lx (k 1)  Ux(k ) Dx (k )) SOR迭代法的矩阵表示形式为 x (k 1) (D L)1{(1)D U}x (k ) (D L)1b . 定理4 一阶定常迭代法

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