数值计算方法第4次作业.pdf

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数值计算方法第4次作业

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx 第四章 问题一 一、问题综述 在离地球表面高度为y 处的重力加速度如下: 计算高度y=55000m 处的重力加速度值。 二、问题分析 以高度y 作为自变量,重力加速度的值为因变量。得到以下信息: (0) = 9.8100; (30000) = 9.7487; (60000) = 9.6879; (90000) = 9.6278; (120000) = 9.5682; 本题要求的就是 (55000) 的值。 以下将采用课堂中学到的Lagrange 插值多项式法、Newton 插值多项式法、分段低次插 值法和样条插值法求解该问题。 三、问题解决 1. lagrange 插值多项式法 对某个多项式函数,已知有给定的k + 1 个取值点: 其中 对应着自变量的位置,而 对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的 x 都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插 j 值多项式为: 1 数值计算方法 xx xxxxxxxxxx 其中每个 为拉格朗日基本多项式 (或称插值基函数),其表达式为: 拉格朗日基本多项式 的特点是在 上取值为1,在其它的点 上取值为 0。 源程序lagrange.m function [c,f]=lagrange(x,y,a) % 输入:x是自变量的矩阵;y是因变量的矩阵;a是要计算的值的自变量; % 输出:c是插值多项式系数矩阵;f是所求自变量对应的因变量; m=length(x); l=zeros(m,m); % l 是权矩阵 f=0; for i=1:m v=1; for j=1:m if i~=j v=conv(v,poly(x(j)))/(x(i)-x(j)); % v 是l_i(x)的系数矩阵 end end l(i,:)=v; % l 矩阵的每一行都是x 从高次到低次的系数矩阵 end c=vpa(y*l,10); % 对应阶次的系数相加,乘以y,显示10位有效数字 for k=1:m f=f+c(k)*a^(m-k); end 输入矩阵 x=[0 30000 60000 90000 120000] y=[9.81 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682] a=55000 再运行源函数,可得: c = [ -2.057613169e-23, 4.938271605e-18, -3.703703702e-14, -0.000002046111111, 9.81] f = 9.6979851723251649906109417384537 2 数值计算方法 xx xxxxxxxxxx 即此时得到的插值函数为: () = −2.06 × 10−234 + 4.94 × 10−18 3 − 3.70 × 10−14 2 − 2.05 × 10−6 + 9.81 所以可以得到本题的结果为:

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