数理统计 第5章 统计决策与贝叶斯估计.pdf

第五章 统计决策与贝叶斯估计 Page 1 of 48 第五章 统计决策与贝叶斯估计 20 世纪 40 年代末，瓦尔德 （Wald ）建立了统计决策理论。1950 年发表了 《统 计决策函数》一书，系统地论述了他的理论。这一理论对参数估计、区间估计、假设 检验等统计问题在统计决策的观点下统一处理。它通过将统计问题提成数学最优化问 题的解，引进了各种优良性准则。这个理论的一些基本观点现在已经不同程度地渗透 到各个统计分支，对数理统计学的发展产生了重大的影响。统计决策理论是战后数理 统计学发展的重大事件。 统计决策与统计推断是既有联系又有区别的。统计决策问题要考虑到决策的损 失，而统计推断问题，一般是指解决一类统计问题的方法，但不考虑决策的损失问题。 如在参数的点估计中，矩估计与极大似然估计是进行点估计的统计方法，属于统计推 断的范围，而讨论点估计的优良性，则与统计决策有关。统计决策是统计推断研究的 深化。统计决策方法可以作为产生优良统计推断的手段。 贝叶斯 （Bayes ）估计是贝叶斯统计的主要部分，它是运用统计决策理论研究参 数估计问题。 第一节 统计决策的基本概念 5.1.1 统计决策问题的三个要素 统计决策问题的三个要素是：样本空间和样本分布族、决策 （行动）空间、损 失函数。 1． 样本空间和样本分布族 设总体X 的分布函数为F(x;) ， 是未知参数 ， 称为参数空间。若     X , X , , X 为来自总体X 的样本，则样本所有可能取值组成的集合称为样本空 1 2 n 间，记为 ，由于X 的分布函数为F(x ;), i 1, 2,...,n ，则X , X , , X 的联合 i i 1 2 n 分布函数为 n F(x , x , , x ;) F(x ;),   1 2 n  i i 1 第五章 统计决策与贝叶斯估计 Page 2 of 48 *  n  若记F  F(x ;),   ，则称为样本X , X , , X 的概率分布族，简称  i 1 2 n i 1  样本分布族。 所谓给定了一个参数统计模型，实质上是指给定了样本空间和样本分布族。 例 5.1 设总体X ~ N(,1) ，X , X , , X 是来自总体的样本，则样本空间是 1 2 n 集合 (x , x , , x ) : x R,i 1, 2,...,n   1 2 n i  样本分布族为 n  n  1 (x )2