数论专题第二讲(教师版).pdf

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数论专题第二讲(教师版)

a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得 数论专题 第二讲 余数问题 的余数。 王玉怀 例如:23,16 除以5 的余数分别是3 和1,所以23×16 除以5 的余数等于3×1=3。 第十讲:数论之余数问题 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛 例如:23,19 除以5 的余数分别是3 和4,所以23×19 除以5 的余数等于3×4 除以5 小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。 的余数,即2. 许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!” 3.同余定理 余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理, 若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a、b 对于模m 同余,用式子表示 和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。 同余式读作:a 同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论: 知识点拨: 若两个数a,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a,b 的差一定能被m 整除 一、带余除法的定义及性质: 一般地,如果a 是整数,b 是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r, 用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k 是整数,即m|(a-b) 0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: 三、弃九法原理: 在公元前9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计 (1)当r 0 时:我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商 算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运 (2)当r  0 时:我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商 算是否正确,他们的检验方式是这样进行的: 一个完美的带余除法讲解模型:

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