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文登学府王博2013概率5
第五章 大数定律和中心极限定理
【例 1】设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别是1和4,而相关系数为0.5,则
根据切比雪夫不等式P (| X −Y |≥ 6) ≤ _____.
解 由于E (X −Y ) 0 ,D (X −Y ) D (X ) =+ D (Y ) −2ρXY D(X ) D(Y )
1=+ 4− 2× 0.5× 1× 2 3 ,
( − ) 3 1
D X Y
所以P (| X −Y − 0 |≥ 6) ≤ .
62 36 12
注:切比雪夫不等式是对事件| X − E (X ) |≥ ε 或事件| X − E (X ) | ε 的概率的一个估计,
X 被估计的范围只是(E (X ) − ε , E (X ) + ε ) 或这区间以外的范围,而且这个估计只用到X
的方差,因此估计比较粗略.
【例2 】将一枚骰子重复掷 次,则当 时, 次掷出点数的算术平均值依概率收敛
n n → +∞ n
于______.
21 7
解 设 表示第 次掷得的点数,显然 独立同分布,且 ( ) ,
X i i X 1,X 2 , , X n , E X i
6 2
1 n 7
因此,根据辛钦大数定律,算术平均值 ∑X i 依概率收敛于数学期望 .
n i 1 2
【例 3 】(1)某系统由 100 个部件组成,运行期间每个部件是否损坏是相互独立的,损坏的
概率均为0.1,如果有85 个以上的部件完好时系统才能正常工作,求系统正常工作的概率;
(2)如果上述系统由 个部件组成,需80%以上的部件完好时系统才能正常工作,问
n n
至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0.95?
1,第k个元件完好,
解 (1)设X k 1,2,,100 , 为系统正常运行时完好的元件
k X
0, 第k个元件损坏,
100
数,显然X ∑X k ,X ~ B (100,0.9) ,E (X ) 90 ,D (X ) 9 .
k 1
根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,系统正常工作的概率为
X − 90 85 − 90 5
P X =− P X ≤ =− P ≤ ≈ 1− Φ (− ) 0.9525.
( 85) 1 ( 85) 1 ( )
9 9 3
(2)此时,X ~ B (n
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