文登学府王博2013概率5.pdf

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文登学府王博2013概率5

第五章 大数定律和中心极限定理 【例 1】设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别是1和4,而相关系数为0.5,则 根据切比雪夫不等式P (| X −Y |≥ 6) ≤ _____. 解 由于E (X −Y ) 0 ,D (X −Y ) D (X ) =+ D (Y ) −2ρXY D(X ) D(Y ) 1=+ 4− 2× 0.5× 1× 2 3 , ( − ) 3 1 D X Y 所以P (| X −Y − 0 |≥ 6) ≤ . 62 36 12 注:切比雪夫不等式是对事件| X − E (X ) |≥ ε 或事件| X − E (X ) | ε 的概率的一个估计, X 被估计的范围只是(E (X ) − ε , E (X ) + ε ) 或这区间以外的范围,而且这个估计只用到X 的方差,因此估计比较粗略. 【例2 】将一枚骰子重复掷 次,则当 时, 次掷出点数的算术平均值依概率收敛 n n → +∞ n 于______. 21 7 解 设 表示第 次掷得的点数,显然 独立同分布,且 ( ) , X i i X 1,X 2 , , X n ,  E X i 6 2 1 n 7 因此,根据辛钦大数定律,算术平均值 ∑X i 依概率收敛于数学期望 . n i 1 2 【例 3 】(1)某系统由 100 个部件组成,运行期间每个部件是否损坏是相互独立的,损坏的 概率均为0.1,如果有85 个以上的部件完好时系统才能正常工作,求系统正常工作的概率; (2)如果上述系统由 个部件组成,需80%以上的部件完好时系统才能正常工作,问 n n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0.95? 1,第k个元件完好,  解 (1)设X k 1,2,,100 , 为系统正常运行时完好的元件 k  X 0, 第k个元件损坏,  100 数,显然X ∑X k ,X ~ B (100,0.9) ,E (X ) 90 ,D (X ) 9 . k 1 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,系统正常工作的概率为 X − 90 85 − 90 5 P X =− P X ≤ =− P ≤ ≈ 1− Φ (− ) 0.9525. ( 85) 1 ( 85) 1 ( ) 9 9 3 (2)此时,X ~ B (n

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