MATLAB 小波处理.ppt

What is wavelet 一种函数 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波 部分小波波形 (6) 三种变换的比较 (a) 二维图 考虑一个大小为M*N的图像f(x,y)，其正向离散变换T(u,v,…)可用一般的多项式关系表示为 其中，x,y是空间变量，u,v,…是变换域变量。若给定T(u,v,…)，则f(x,y)可用一般的离散反变换： 在这些方程中分别称为正变换核和反变换核。他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换系数T(u,v,…)可看做是f关于{hu,v…}的一系列展开系数。 变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换；正交性导致了正反变换和之间的复共轭关系。 离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些函数的基本特征和他们的应用方法也不同。 在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个DWT，无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续时间受限的小波。 小波核的特征： 性质1 可分离性、尺度可变性、平移性， 核可用三个可分的二维小波来表示： 性质2 多分辨率的一致性 一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求： a. 与其整数平移正交。 b. 在低尺度或低分辨率下可表示为一系列 的展开的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。 c. 唯一可以以任意尺度表示的函数是f(x)=0 当 时，可用任意精度来表示任何函数。 性质3 正交性 展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一个正交基或双正交基。 7.2 快速小波变换 三级小波包分解树 降采样过程 在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。 比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。 补充哈尔小波1. 哈尔函数 哈尔基函数基函数是生成矢量空间V j 而定义的一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号。也称尺度函数(scaling function)，用符号V j 表示。 哈尔小波函数哈尔小波函数是生成矢量 的一组线性无关的函数 ，用符号W j表示。矢量空间W j中的小波可用来表示一个函数在矢量空间 中不能表示的部分。 2. 哈尔变换原理 假设两个信号的数值分别为a和b，计算它们的和与差， 哈尔变换举例 【例】假设有一幅分辨率只有4个像素 的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为： [9 7 3 5]计算它的哈尔小波变换系数 步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应的像素值为：[8 4] 步骤2：求差值(differencing)用2个像素表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失。为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数(detail coefficient)，以便在重构时找回丢失的信息。原始图像可用下面的两个平均值和两个细节系数表示，[8 4 1 -1] 步骤3：重复步骤1和2把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6和三个细节系数2,1和－1表示整幅图像：[6 2 1 -1] 哈尔变换过程 3. 哈尔变换的特性 从这个例子中我们可以看到： 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。 对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的图像基础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为2的图像基础上重构出分辨率为4的图像 通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理解 4. 一维哈尔小波变换 求均值和差值的过程实际上就是一维小波变换的过程，现在用数学方法重新描述小波变换的过程 (1) 哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号, 如用基函数的加权和表示。定义了基和矢量空间，就可以把由2j 个像素组成的一维图像看成为矢量空间 中的一个矢量。 最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函数在1909年提出，它是由