有限元板壳单元.pdf

第七章 板壳单元 对于小挠度弹性薄板弯曲问题，板的变形完 全由垂直于板面的挠度w确定，在一般情况 下，取w和它的一阶、二阶导数为参数进行数 值计算。当前用来离散薄板的单元多用四边 形或三角形单元，相邻之间有弯矩传递，所 以将节点看成刚性的。 7.1 弹性板的弯曲 设板的中面在xy 平面上，即z = 0表示板的中面，在 板理论中，一般假设板的中面是一中性面，也就是在 没有面内力时，中面上的三个应变ε = ε = γ = x y xy 0 。另一个基本假设即为所谓的直法线假定：变形前 垂直于中面的法线变形后仍然保持直线，但是不一定 仍然垂直于变形后的中面。这条直线有绕y 和x 轴的 转角分别为ψx 和ψ 。则距离中面距离为z 的任意 y 点的位移和应变分别是 u =−zψ v =−zψ ε =−zψ ε =−zψ x y x x x y y y γ =−z ψ +ψ( ) xy x y y x γ w =−ψ yz y y γ w =−ψ xz x x 这里w是板的横向挠度，假设它沿板的厚度方向不变，即εz =0 。上式是Mindlin 板理论的基本假定。如果假定变形后的 法线仍然是变形后中面的法线，即w = ψ 和w = ψ ，则 ,x x ,y y 式中的两个横向剪切应变γ 和γ 为零，这就退化为 yz xz Kirchhoff 板理论。当板足够薄时，用Kirchhoff 板理论能得到 符合实际的结果。 在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示， 它们与应力之间的关系为： h/2 h/2 h/2 M σ zdz M σ zdz M τ zdz x ∫−h/2 x y ∫−h/2 y xy ∫−h/2 xy h/2 h/2 Q τ dz Q τ dz x ∫−h/2 xz y ∫−h/2 yz M M M Q Q 式中 、 是弯矩， 是扭矩， 、 是剪力 x y xy x y 对于线弹性材料，板内的应力应变关系为： ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ σx 1 μ 0 εx εx ⎪ ⎪ E ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ σ μ 1 0 ε D ε ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ y