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概率论与数理统计第四章 随机变量的数字特征2012
第四章 随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 随机变量的方差
第三节 随机变量的协方差和相关系数
中南财经政法大学李正兴 1
例:①.在检验一批棉花的质量时,一方面要知道棉花纤
维的平均长度;另一方面要知道棉花纤维长度与平均纤
维长度的偏离程度。因为平均纤维长度达到一定要求且
这种偏离程度较小时,棉花的质量就高。
②.在证券投资方面,我们一方面要知道股票的平均回报
率;另一方面,要知道股票的回报率与平均回报率的偏
离程度,并把这种偏离程度称为风险。
③.考虑两种股票的回报率, 研究它们相互影响的方向与
程度。
随机变量的平均数、偏离程度、两个随机变量的相关程
度等指标,虽然它们不能完整地描述随机变量,但能显
示随机变量在某些方面的重要特征。
中南财经政法大学李正兴 2
第一节 随机变量的数学期望
一、数学期望的概念
1. 离散型随机变量的数学期望
引例 检验一批棉花纤维的平均长度,从中抽查100根
纤维,其结果如下:
37.1mm 38.5mm 39.0mm 40.3mm 41.4mm
5根 15根 35根 29根 16根
试估计这批纤维的平均长度。
中南财经政法大学李正兴 3
解 记平均长度为d,则
37.15 38.5 15 39.0 35 40.3 29 41.4 16
d
100
5 15 35 29 16
37.1 38.5 39.0 40.3 41.4 39.59(mm)
100 100 100 100 100
中南财经政法大学李正兴 4
定义 4.1 设离散随机变量 X 的概率分布为:
P {X xn } pn , n =1,2,…
如果级数x p 绝对收敛,则称该级数为X 的数学期
n n
n 1
望,记作EX ,即
EX x p (4.1)
n n
n 1
如果级数 x p 不是绝对收敛,即级数| x | p 发
n n n n
n 1 n 1
散,称 X 为数学期望不存在。
中南财经政法大学李正兴 5
例 1 设 ~ ,证明: .
X B
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