量子力学中蒙特卡洛方法.pdf

3.5 在量子力学中的蒙特卡洛方法 量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量, 与波函数 相关的分布密度函数具有关系式 2 p (x , t)dx c Ψ(x , t) dx . 波函数Ψ(x , t) 也被称为几率幅度。因此人们很自然地想到可以利 用蒙特卡洛方法来求解量子力学问题。 3.5.1 量子力学回顾 量子力学的基本方程是薛定格方程 ˆ ∂Ψ HΨ(x ,t) i . ∂t 其哈密顿量算符 可以写为 H ˆ 2 2 ˆ H − ∇ +V . 2m 从费曼的观点来看，一个粒子在某个时刻t，某空间位置x 的波 函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。 即 +∞ ( ) ( ) ( ) Ψ x ,t ∫−∞DF x ,t;x 0 ,t0 Ψ x0 ,t0 dx0 . 上式中的 称为“传播子”。该传播子可以表示为 , ; , DF (x t x 0 t0 )  i  D (x , t;x , t ) x exp =− H t −t x . F 0 0  ( 0 ) 0 如果 为与时间无关的哈密顿量 的本征态波函数，则它满足 ( ) H ψ x n 的薛定格方程为 ˆ ( ) ( )， Hψ x E ψ x n n n 波函数也可以用展开式表示为 ( ) ( ). Ψ x , t ∑c (t)ψ x n n n +∞ 其中 * ( ) ( ) c (t) dxψ x Ψ x ,t 。由这些表达式，我们得到传播子的一 n ∫ n −∞ 个精确表示为 −iE t / −iE t / * ( ) n ( ) ( ) n D x ,t;x ,t 0 ∑x |ψ e ψ | x ∑ψ x ψ x e . F 0 0 n n 0 n n 0 n n 假定该等式在延拓到t 为虚值时仍成立，令t −iτ ，则有 −E τ/ * (