苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质.docVIP

第24课时 两个平面垂直的判定和性质 教学目标： 使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。 教学重点： 两个平面垂直的判定、性质。 教学难点： 两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。 教学过程： 1．复习回顾： 1）二面角、二面角的平面角. 2）求作二面角的平面角的途径及依据. 2．讲授新课： ［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 请同学给两个平面互相垂直下一定义： ［生］两个平面互相垂直的定义可表述为： 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. ［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图. 师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决. 平面α和β垂直，记作α⊥β ［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理. ［生］两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ［师］请两位同学给出分析，证明. ［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB α 求证：α⊥β. 分析：要证α⊥β 需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角. 证明：设α∩β＝CD，则由AB α知，AB、CD共面. ∵AB⊥β，CDβ ∴AB⊥CD，垂足为点B 在平面β内过点B作直线BE⊥CD 则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角. 又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角. ∴α⊥β. ［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？ ［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线. ［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为： 线面垂直面面垂直 两个平面垂直的性质： ［师］在所给正方体中，下式是否正确 ①平面ADD1A1⊥平面ABCD ②D1A⊥AB ③D1A⊥面ABCD ［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB 面ABCD ∴平面ABCD⊥平面ADD1A1 ②∵AB⊥面ADD1A1，D1A 面ADD1A1 ∴AB⊥D1A ③∵AA1⊥面ABCD ∴AD1与平面ABCD不垂直 ［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？ 判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直. 两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面. ［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法. 请同学予以证明. ［生］证明过程如下： 已知：α⊥β、α∩β＝a, ABα，AB⊥a于B. 求证：AB⊥β. 证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B 则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角 由α⊥β可知，AB⊥BE 又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线 ∴AB⊥β. ［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用. 例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内. 已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β. 求证：aα. ［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线bα然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注. ［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c， ∵α⊥β ∴b⊥β，而a⊥β，P∈a 因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直. 所以直线a应与直线b重合. 那么aα. ［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可