可微性几何意义及应用.ppt

* * §1 可微性与偏导数 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 若一元函数 可微， 在其上某一 的切线 PT 我们把平面曲线 S 定义为 过点 P 的割线 PQ， 当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置 PQ 与 PT 的夹角 也将随 Q　→P 而趋于 0 用 h 表示点 Q 到直线 PT 的距离 ， 用d 表示点 Q 到点 P 的距离， 图 17 - 2 由于 我们引进曲面 S 在点 P 的 切平面的定义. 图 17 - 3 若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有 则称Π 为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点. 定义 3 设曲面 S 上一点P, S 上的动点 Q 到定点 P Π 为通过点 P 的一个平面, 和到平面Π 的距离 分别记为 d 和 h. 定理 17.4 曲面 存在不平行于 z 轴的切平面 的充要条件是 在点 可微. 函数 定理 17.4 说明: 函数 在点 可微, 则曲面 处的切平面方程为 过切点 P 与切平面垂直的直线 称为曲面在点 P 的法线. 由切平面方程知道，法向量为 于是过切点 P 的法线方程为 定理 17.4 说明: 函数 在点 可微, 则曲面 处的切平面方程为 二元函数全微分的几何意义: 当自 变为 时, 函 当自变量由 是 z 轴方向上的一段 NQ; 的增量 数 的全微分 dz 而在点 则是切平面 上 相应的那一段增量 NM. 而趋于 0, 而且是较 高阶的无穷小量. 于是, 与 dz 之差是 MQ 那一段，它的长度将随着 例6 试求抛物面 处 的切平面方程与法线方程，其中 解： 由公式 (13), 在点 P 处的切平面方程为 由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 近似计算和误差估计： 例7 求 的近似值. 解 设 由公式 (3)，有