可测函数和性质(必威体育精装版版).ppt

第一节 可测函数及其性质 一. 可测函数定义 例（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数 结论：可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 二. 可测函数的等价描述 三. 可测函数的性质 即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则对任意的有限实数α， α f(x) ，f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , 1/f(x),f(x)g(x) , f(x)/g(x)，|f(x)|仍为E上的可测函数。 定理3: 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭. 例： R1上的可微函数f(x)的导函数f ‘(x)是可测函数 94页第2题 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 1：几乎处处成立 注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 * * 第四章 可测函数 三. 可测函数的性质 一. 可测函数定义 二. 可测函数的等价描述 四. 可测函数与零集的关系 五. 可测函数与简单函数的关系 定义1：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 例(2) 简单函数是可测函数 注：[0,1]上的Dirichlet函数是简单函数。 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， 设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续 证明：任取x∈E[fa], 则f(x)a,由连续性假设知， 则G为开集，为可测集，且 证明： 定理1 设f(x)是可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件 定理1: 可测函数关于子集、并集的性质 反之，若 , f(x) 在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。 即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x) 在E1上也是可测函数； 定理2： 可测函数类关于四则运算封闭 推论：特別当极限存在时，它也是可测函数。 可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。 即若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数. 从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 证明：由于 gn(x) 证明：发散点全体为 收敛点全体为 再 四. 可测函数与零集的关系 例1： 例2： 证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g] ，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 定理： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则 g(x)在E上也可测 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。 2：函数可测性与零集的关系 * *