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高中数学知识,巧计 一、集合与简易逻辑 1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性． 2．对集合 ， 时，必须注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集时是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集． 3．对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 4．“交的补等于补的并，即 ”；“并的补等于补的交，即 ”． 5．判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”． 6．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”． 7．四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”． 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．反证法分为三步：假设、推矛、得果． 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?． 8．充要条件 二、函 数 1．指数式、对数式， 2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”． （2）函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个． （3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像． 3．单调性和奇偶性 （1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同． 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等．对于偶函数而言有： ． （2）若奇函数定义域中有0，则必有 ．即 的定义域时， 是 为奇函数的必要非充分条件． （3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图像法）、特殊值法等等． （4）既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． （7）复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”． 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义） 4．对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记） （1）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称． 推广一：如果函数 对于一切 ，都有 成立，那么 的图像关于直线 （由“ 和的一半 确定”）对称． 推广二：函数 ， 的图像关于直线 （由 确定）对称． （2）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称． （3）函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称． 推广：曲线 关于直线 的对称曲线是 ； 曲线 关于直线 的对称曲线是 ． （5）类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ． 如果 是R上的周期函数，且一个周期为 ，那么 ． 特别：若 恒成立，则 ．若 恒成立，则 ．若 恒成立，则 ． 三、数 列 1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前 项和公式的关系： （必要时请分类讨论）． 注意： ； ． 2．等差数列 中： （1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． （2） ； ． （3） 、 也成等差数列． （4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列． （5） 仍成等差数列． （8）“首正”的递等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和； （9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项． （10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解． （11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）． 3．等比数列 中： （1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性． （3） 、 、 成等比数列； 成等比数列 成等比数列． （4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列． （8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是所有大于或等于1的项的