高考数学(人教A版理)一轮复习配套讲义第3篇函数yAsin(ωxφ)的图象及应用.docVIP

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 [考纲] 1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示. x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 1．对图象变换的认识 (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．( ) (2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象 () (3)(2013·湖北卷改编)将函数y＝cos x＋sin x(xR)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是. () 2．对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的认识 (4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A. () (5)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期． () (6)(2014·广州二模改编)若函数y＝cos ωx(ωN*)的一个对称中心是，则ω的最小值为3. () [感悟·提升]1．图象变换两种途径的区别 由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位，如(1)、(2)． 2．两个防范　一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； 二是解决三角函数性质时，要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，如(4)；而y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5). 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法与变换【例1】 (1)(2013·广东六校教研协作体二联)已知f(x)＝sin(ω＞0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos 2x的图象(　　)． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 (2)已知函数y＝2sin. 求它的振幅、周期、初相； 用“五点法”作出它在一个周期内的图象； 说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．规律方法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法． (1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同． 【训练1】 (1)(2013·合肥第一次质检)将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位，所得函数的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，则ω的值不可能是(　　)．A．2 B．4 C．6 D．10 (2)(2014·合肥模拟)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝. 求ω和φ的值； 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解 【例2】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________． 规律方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，