第五章过渡到量子力学.pdf

过渡到量子力学 我们考察完全可分离的体系，也就是说，在合适的坐标下，Hamilton 特征函 数可以表示成 个函数 之和 s W i s W W q ,β ∑ ( ) i i i 1 这里每一个函数 仅仅依赖于坐标 （量β 是常数参量）。这意味着每一个广 W q i i 义总动量 dW q ,β ∂W ( ) i i p i ∂qi dqi 仅仅依赖于其共轭坐标 ： qi p p q ( ) i i i 譬如二维谐振子以及中心立场中单粒子的运动就是这样的完全可分离的体系。 对于完全可分离的体系，坐标 可 qi 以分为两类。一类如一般中心力场中的 r 运动，变量 是周期性的，在区间 r [r ,r ]内取值[见右图] ；而角度θ max min max 则在区间 0,2π 内取值。整个运动是[ ) “伪周期”的（除了对于一些特殊类型 r min 的中心力，譬如平方反比力以及弹性恢 复力）。一般而言，对于作有界运动的体系，广义坐标对时间的依赖关系有两种 可能： 坐标以及共轭动量都是周期性的，并且有相同的周期[见图(a)] ， 的区域位 qi 于区间⎡q ,q ⎤内，在一个周期里， 从q 增加到q ，然后再回 ⎣ i,min i ,max ⎦ qi i ,min i ,max 到qi ,min ，例如中心立场中粒子的径向距离或者谐振子的迪卡尔坐标；广义动量 第 1 页，共 7 页 q 是 的周期函数（周期为 ，见图(b) ） p i qi i,0 p q +q p q ( ) ( )