量子力学第1篇-波函数.ppt

在直角坐标系中，拉普拉斯算符为 1.2 波函数的统计解释 波函数?(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述一个微观粒子的运动状态呢? 波函数的波恩统计解释 波恩说，波函数ψ代表的是一种随机，一种概率，更准确地说，???2代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波，严格地按照ψ的分布所展开。 ??现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干涉条纹，因为一个电子只会留下一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有时出现在那里，完全不是一个确定的过程。 不过，我们经过大量的观察，却可以发现，这个电子不是完全没有规律的：它在某些地方出现的可能性要大一些，在另一些地方则小一些。它出现频率高的地方，恰恰是波动所预言的干涉条纹的亮处，它出现频率低的地方则对应于暗处。现在我们可以理解为什么大量电子能组成干涉条纹了，因为虽然每一个电子的行为都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一个干涉条纹的图案。这就像我们掷骰子，虽然每一个骰子掷下去，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但如果你投掷大量的骰子到地下，然后数一数每个点的数量，你会发现1到6的结果差不多是平均的。关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现，它从来不会在屏幕上打出一滩图案来。只有大量电子接二连三地跟进，总的干涉图案才会逐渐出现。其中亮的地方也就是比较多的电子打中的地方，换句话说，就是单个电子比较容易出现的地方，暗的地带则正好相反。如果我们发现，有9成的粒子聚集在亮带，只有1成的粒子在暗带，那么我们就可以预言，对于单个粒子来说，它有90％的可能出现在亮带的区域，10％的可能出现在暗带。但是，究竟出现在哪里，我们是无法确定的，我们只能预言概率而已。 亮的地方粒子出现的几率大，暗的地方几率小。这说明了什么？我们知道亮的地方波的强度大，也就是???2大，暗的地方波强度小，也就是???2 小。这就说明波函数在空间中某一点的强度(???2) 和在该点找到粒子的几率成正比。也就是说描写粒子的波是几率波。 知道了描写微观体系的波函数后，由就可以得出粒子在空间任意一点出现的几率。以后我们将看到，由波函数还可以得出体系的各种性质，因此我们说波函数描写体系的量子状态。 量子力学与经典力学的区别 量子力学用波函数来描写微观粒子的运动状态的方式和经典力学中描写质点运动状态的方式完全不一样，在经典力学中，通常是用质点的坐标和动量的值来描写质点的状态，一个质点的坐标和动量是随时间连续变化的我们有一条质点运动的轨迹。质点的其它力学量，如能量等，是坐标和动量的函数，当坐标和动量确定后，其它力学量也就随之确定了。但是在量子力学中，微观体系是由波函数来描写的，我们只知道粒子在某一时刻在空间某一点出现的几率，这样一来我们就不能说粒子的运动在空间形成一条轨迹了，同时，由于不确定性原理（测不准原理）在量子力学中粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值，你把粒子的坐标测量的十分精确，那么你就完全不知道它的动量是多少了，也就是说，不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态。以后我们将看到，当粒子处于某一量子状态时，它的力学量一般有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现，这些几率都可以由波函数得出。 没有轨迹的概念了，经典力学决定论的概念失效了。难道从电视机屏幕后电子枪发射的电子束也没有轨迹了？它怎么到达的荧光屏我们也不知道了？这里我们需要注意尺度问题，换句话说，必须满足什么样的条件我们才能把电子看作经典粒子？这里粒子的德布鲁意波长起着非常重要的作用。当考虑问题的尺度远大于德布鲁意波长时，我们就可以回到经典极限。电子束中的电子是由一个非常局域化的波包来描述，这波包在空间随时间运动，电子束的宽度远大于电子的德布鲁意波长，在这条件下，我们回到了经典极限，我们有了轨迹的概念，但是要注意，这里的轨迹并不是质点力学中一条没有宽度的线。我们也可以由电子的坐标和速度来描述电子的运动，但是他们都不是十分精确的确定值。假定我们的电视机屏幕是20乘20厘米， 象素是1千万，那么电子束的线度是10－6米，也就是说，电子束坐标不确定是10－6米，根据测不准关系那么动量的不确定大约是10－28焦耳.秒(千克.米/秒), 假设用100伏电压加速电子, 电子速度大约为107米/秒, 动量大约为10-24千克.米/秒, 动量的不确定影响很小.说明在这种情况下量子效应很小. 但是对于原子中的电子,坐标的不确定性很小, 10-1