同济六版高数课件{青岛大学}5.7.ppt

习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 说明: 例2. 求 练习: 1. 例3. 例4. 证明 例7. 注意 f (0) = 0, 得 例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程 二、有关定积分计算和证明的方法 例9. 求 例10. 求 例11. 选择一个常数 c , 使 例12. 设 例13. 若 因为 例14. 证明恒等式 例15. 证明: 令 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 例16. 例17. 设 典型 P241 例5.8 典型 P249 例6.4 (L.P 132 例10) (L.P 132 例10) (L.P164 中1) (L.P165 中 2(1)(2) ) (L.P165 中2(3) ; 3) (L.P166 中4) ( L. P167 例2(2) ) * 一、与定积分概念有关的问题的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第五章 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 因为 时, 所以 利用夹逼准则得 因为 依赖于 且 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 原式 不对 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4 解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： 已知 利用夹逼准则可知 (考研98 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 提示:由上题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 求极限 解： 原式 2. 求极限 提示： 原式 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束 估计下列积分值 解: 因为 ∴ 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 在 上是单调递减的连续函数， 试证 都有不等式 证明：显然 时结论成立. (用积分中值定理) 当 时, 故所给不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何 例6. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 求可微函数 f (x) 使满足 解: 等式两边对 x 求导, 得 不妨设 f (x)≠0, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 代入原方程得 两边求导: 可见 f (x) 应为二次多项式 , 设 代入① 式比较同次幂系数 , 得 故 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导: 1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法 思考: 下列作法是否正确? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即 可使原式为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 试证 : 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对右端第二个积分令 综上所述 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则 因此 又 故所证等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 试证 使 分析: 要证 即 故作辅助函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 , 存在一点 如果能, 怎样设辅助函数? 要证: 提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x