同济-高等数学-第三版(6.1) 第一节 微分方程基本概念.ppt

含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程, 通过对微分方程的研究不仅可建立一种确定反映客观事 物变化的函数关系的方法，还可通过这类方程的考察深 入考察客观事物变化的本质规律。 (1) 微分方程问题朔源 函数是客观事物的内在联系在数量方面的反映，利 用函数关系又可对客观事物的规律性进行研究。 反映事物变化规律的变量间具有函数关系虽然是一 种客观存在，但表示这种函数关系 的表达式却并不是客观存在的， 需要人们去建立。因此，寻求 变量间的函数表达式在实践中 具有重要意义。 事物变化的数量关系不仅反映在函数值的变化上， 还反映在其变化速率上，即反映在函数的导数或微分关 系上。因为函数关系反映的是事物变化的总体规律性， 有时并不容易建立，而相应的导数或微分关系反映的是 事物变化的局部规律性或瞬间的状态，相对容易建立。 通过建立和求解含有未知函数 导数或微分的方程也可求出函数 表达式，这就产生了微分方程的 概念及微分方程的研究。 (2) 研究微分方程的意义和任务 研究微分方程通常有三个方面的意义或任务： 建立所求未知函数所满足的微分方程； 讨论微分方程的可解性，并在可解的情形下求出方程 的解，即解出满足方程的函数表达式； 由方程的解讨论和研究实际问题。 微分方程是关于未知函数的导数或微分的 方程，其解一般是一簇函数。由于其未知量的 这种形式上的复杂性，使得微分方程的求解较 其它方程形式复杂和困难得多，也涉及较多的 概念。掌握微分方程的这些基本概念对于理解 微分方程的内容和方法是重要的。 例：一曲线 C 通过点( 2 ,3 )，它在两坐标轴间的任意点 处的切线段均被切点平分，求曲线 C 的方程。 求曲线 C 的方程实际是求曲 线 C 上任意一点 M( x ,y )的坐标所满 足的函数关系式，即求一个未知函数 y = y( x ). 由于问题条件以几何形式给出， 故可先借助于几何直观进行分析，再 设法将几何条件转化为代数形式。 设所求曲线方程为 C: y = y( x )，考虑曲线 C 上任 一点 M( x ,y )的坐标所满足的关系式。 由给定条件有 l 1 = l 2 . 由直观可得 根据问题的几何意义布列方程并求解 布列方程 由导数的几何意义有 tan? = tan(? - ? )= - tan ? 于是由几何关系式 tan? = y /x 可得微分方程 求微分方程解的一般形式 从运算角度讲，求解微分方程就是设法消去方程中 的导数记号，将微分方程化为函数方程。 消去导数记号的基本方法是对其积分，为能够进行 积分，需将方程中的未知函数微分与自变量分离开来。 由微商概念对方程分离变量有 在式子两边积分得 若约定 C 可取负值，则方程的解可表为 由于 C 可任意取值，方程的上述解还不是一个确 定的函数，它实际对应于一簇曲线，为求得所求曲线方 程还需设法确定任意常数 C 的值。 因为曲线 C 通过点( 2,3 )， 将其代入上式解中可求得 C = 6 ， 于是得所求曲线方程为 C : x y = 6 ． 求方程满足指定条件的解 由本例曲线方程的求解可看出，直接建立曲线方 程是困难的，但却容易建立未知函数的导数方程，通 过求解导数方程较方便地求得了曲线方程。 由本例方程的解还可看出，微分方程有两种类型 的解，一类是具有普遍意义的解， 这类解构成一簇曲线，该曲线簇 中曲线的共同特点是切线被切点 平分。另一类是具有特定意义的 解，它是上述曲线簇中通过某定 点的一条曲线。 例：以初速 v 0 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的 运动规律。 求质点的运动规律就是求质点 运动时其坐标所满足的方程，即求质 点的位置与时间的函数关系式，为此 需先根据问题条件建立坐标系。 根据问题的实际意义，考虑以质 点抛出点为原点，沿铅直向上的方向 设置坐标系。 设运动初始时刻( t = 0 )质点位于 点 x 0，在时刻 t 质点位于点 x ，则问 题归结为求函数关系式 x( t ) . 根据问题的物理意义布列方程并求解 质点上抛后作加速运动，由于不计阻力，质点仅受 重力作用，其加速度为 - g . 于是根据导数的物理意义有 将上式两边积分有 再积分一次得 布列方程，求方程解的一般形式 如上求得的是质点作上