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平面向量 知识网络 第1讲 向量的概念与线性运算 ★ 知 识 梳理 ★ 1．平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有____ _________的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____ _____表示向量的大小，用____ ____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示. 特别提醒： 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||. 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2．向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b 特殊情况： 对于零向量与任一向量a，有 a a a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______ 2.向量的减法： （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a、b，求作向量 ∵(a(b) + b = a + ((b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意： 表示a ( b强调：差向量“箭头”指向被减数 用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a +(-b) ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一 a∥b∥c a ( b = a + ((b) a ( b 3.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行. （2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb. 特别提醒： 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。 重要定理： 向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）. 向量★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则． 2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算． 3.重难点：. 问题1: 相等向量与平行向量的区别 答案：向量平行是向量相等的必要条件。 问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别 答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。 问题3：对于两个向量平行的充要条件： a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件. 问题4；向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一： 向量及与向量相关的基本概念 题型1. 概念判析 [例1] (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则； (7)若，，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则 (9) 的充要条件是且； 【新题导练】 1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝ ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2．下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 考点二: 向量的加、减法 题型1: 考查加加、减法运算及相关运算律 [例] 化简 题型2: 结合图型考查向量加、减法