人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解.doc

必修1第一章集合与函数 基础知识点整理 姓　　名：　沈金鹏 院 、 系：　 数学学院 专　　业: 数学与应用数学 2015年10月2日 必修1第一章集合与函数基础知识点整理 第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R. 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，例如，. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：； 用列举法表示为. （2）用描述法表示为：； 用列举法表示为. 【例2】用适当的符号填空：已知，，则有： 17 A； －5 A； 17 B. 解：由，解得，所以； 由，解得，所以； 由，解得，所以. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4） （1）一次函数与的图象的交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合； （3）反比例函数的自变量的值组成的集合. 解：（1）. （2）. （3）. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心. *【例4】已知集合，试用列举法表示集合A． 解：化方程为：．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是：由 △=0，得，此时的解为，合． ⑵方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合． ⑶方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合． 综上可知，． 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象. 第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系 ¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系. ¤知识要点： 1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）.），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作. 3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：；若，，则； 若，则；若，则. ¤例题精讲： 【例1】用适当的符号填空： （1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}. （2） ； 0 {0}； {0}； N {0}. 解：（1）， ； （2）=， ∈， ，. 【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）. 解：简单列举两个集合的一些元素，，， 易知BA，故答案选A． 另解：由，易知BA，故答案选A． 【例3】若集合，且，求实数的值. 解：由，因此，. （i）若时，得，此时，； （ii）若时，得. 若,满足，解得. 故所求实数的值为或或. 点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值. 解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1. 当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当x=1时，集合B中的元素均相同