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第三章： 一维定态问题
[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图 3-1 ）证明
a 2 a 2 6
（ ） （1 ）
x x x
2 12 2 2
n
并证明当n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：
2 n x
sin （1）
x
n
a a
先计算坐标平均值：
2
a a n x a n x
2 2 1 2
x xdx xdx （ ）xdx
sin 1 cos
0 0 a a a 0 a
利用公式：
x cos px sin px
x sin pxdx 2 （2 ）
p p
x sin px cos px
得 x cos pxdx （3 ）
2
p p
a
2 2
1 x a 2nx a 2nx a
x x sin cos
a 2 2n a 2n a 2
0
2
2 2 2
计算均方根值用（x x） x x ，x 以知，可计算x
2
a 2 1 a 2
2 2 2 2 n x 2 n x
sin 1 cos
x x dx x dx x （ ）dx
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