李广老师 量子力学导论 课件Chap11-1详解.ppt

* 第十一章 量子跃迁 1、量子态随时间的演化 量子态问题的分类 哈密顿量不含时的体系 2、量子跃迁几率，含时微扰论 量子跃迁 含时微扰论 3、量子跃迁理论与不含时微扰论的关系 不含时微扰论的分类 常微扰 4、能量－时间测不准关系 能量－时间测不准关系的引入 普遍情形 5、光的吸收和辐射的半经典处理 光的吸收与受激辐射 自发辐射的爱因斯坦理论 内容提要 §11.1 量子态随时间的演化 1、量子态问题的分类 体系可能状态 ? 力学量本征态与本征值问题 量子力学基本假定之一：力学量的观测值与力学量相应算符的本征值对应。 例如，能量本征态和本征值问题，假设哈密顿量不显含时间 t， 能量本征方程 但能级往往有简并，必须找到一组含哈密顿量在内的力学量完全集，得到共同本征态，用一组量子数才能标记清楚简并的各态。 (2) 体系的状态随时间的演化问题 量子力学基本假定之二就是，体系状态随时间的演化遵守含时的薛定谔方程，即 2、哈密顿量不含时的体系 若 ? H/? t = 0，则体系能量为守恒量，此时，? (t) 可写为 其中，U(t)为时间演化算符，U(t) = exp(-iHt/?) 在能量表象中，体系任何初始态 ? (0) 均可用能量本征态 ?n 展开，即 其中 注意：?n 是含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态，n 代表一组完备的量子数。 将 t 时刻的态记为 ?(t)，显然有 特例：如果体系一开始的初态就是某个本征态?k，相应的能量本征值是 Ek ，则 an = ?nk。便有 即体系以后将保持原来的能量本征态，为定态。 相反，如果体系初态就不处于某一个能量本征态，则以后也不会处于该本征态，而是很多本征态的叠加。 3、例题： 设一个定域电子处于沿 x 方向的均匀磁场 B 中(忽略电子的轨道运动)，电子内禀磁矩与外磁场的作用为 设初始时刻，电子自旋态为 sz 的本征态 sz = ?/2， 即 , 求 t 时刻的电子自旋 ?(t)＝？ 解：从哈密顿量分析可知，现在的体系能量本征态为 ?x 的本征态， 记为 ， 则 电子的初态为 则 所 以 §11.2 量子跃迁几率，含时微扰论 1、量子跃迁 (Quantum transition) 实际上，关注的重点在于：当体系在某种外界作用下，体系在定态之间的跃迁几率。 体系初态为 当外界作用 H?(t) 加上后，哈密顿量变为 设无外界作用时，体系哈密顿量不显含时间，记为 H0，F 为一组含 H0 在内的力学量完全集，共同本征态记为 ?n，n 为一组完备的量子数。 体系受 H? 作用后， F 中所有力学量不再都还是守恒量，体系不再保持在原来的本征态，而变为F 所有本征态的叠加， 在 t 时刻测量 F，得到 Fn 的测值几率为 也可理解为从初态 ?k 跃迁到 ?n 态的跃迁几率。 跃迁速率(Transition rate) 单位时间内的跃迁几率 即，给定初始条件 如何求解 Cnk(t) ? 注意： 令人感兴趣的量子跃迁是初态和末态的不同态之间的跃迁。但由于能级一般有简并，所以量子跃迁不一定意味着末态能量与初态能量不同，如完全弹性散射，初态和末态波函数不同，但能量却相同。 跃迁速率方程 上式两边左乘 ?k?*，积分得 其中 2、含时微扰论 分析：对于一般的 H?(t) 矩阵元 Hk?n＝k?|H?|n 很难计算。但如果 H? 很微弱( H? H0)，可以想见， |Cnk(t)|2 将随时间缓慢变化，体系仍有很大的几率处于原本的初态，即 |Cnk(t)|2 1(n ? k)。 此时，可借用微扰逐级近似的办法，即含时微扰来求解 1）零级近似 忽略 H? 的影响， 2）一级近似 按照微扰论，右边的 Cnk(t) ? Cnk0(t) = ?nk 积分后得 因此，准确到一级近似下， 当 k? ? k （初末态不同） 跃迁几率公式 讨论： a) 公式的适用条件 跃迁几率很小，仍有很大几率停留在初始状态 b) 跃迁几率与初态 k、末态 k? 和微扰 H? 都有关 c) 如果 H 具有某种对称性，使 H?k?k ＝0，则 Pk?k＝0，即在一级微扰近似下，不能从初态 k 跃迁到 k? 态，或者说从 k 态到 k? 态的跃迁是 被禁止的 (forbidden)。此即选择定则 d) H?是厄密算符， H?k?k ＝ H?*k?k，所以，在一级 近似下，从 k 态跃迁到 k? 态的跃迁几率等于从 k? 到 k 态的几率（k?? k） e) 由于能级一般有简并，而且初末态的简