和圆有关的综合题.ppt

* * * * 数学 第37课时 与圆有关的综合题 第37课时 与圆有关的综合题 知识考点?对应精练 【知识考点】 （1）圆与三角函数； （2）圆与函数； （3）圆与点、线、三角形； （4）圆与多边形. 【对应精练】 1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan∠F= ，求cos∠ACB的值 第37课时 与圆有关的综合题 【解析】 （1）PA为⊙O的切线， （2）AB⊥OP，由垂径定理，可得AD=BD，从而有PA=PB； （3）证OB⊥PB即可说明PB为⊙O的切线，由△AOP≌△OPB，即有； （4）由△OAD∽△OPA得OA2=OD?OP，由EF=2OA，代入可求EF，OD，OP之间关系； （5）连接BE，构建Rt△BEF，由，tan∠F= ，可设BE=x，BF=2x，由勾股定理可得EF= ，由面积法求得BD= ，则AB= ，由勾股定理求得BC=20，则cos∠ACB可求. 第37课时 与圆有关的综合题 【答案】 （1）如图，连接OA， ∵PA与⊙O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°， ∵OP⊥AB， ∴D为AB的中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB， 又OA=OB，OP=OP， ∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP⊥OB，即PB与⊙O相切； （2）EF2=4OD?OP，理由如下： ∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA， ∴△OAD∽△OPA， ∴ ，即OA2=OD?OP， ∵EF=2OA， ∴ EF2=OD?OP，即EF2=4OD?OP； 第37课时 与圆有关的综合题 【答案】 （3）如图，连接BE，则∠FBE=90°， ∵ ， ∴ ， 设BE=x，则BF=2x， ∴EF= ， ∵ BE?BF= EF?BD， ∴BD= ， ∴AB=2BD= ， ∵AC2+AB2=BC2，即 ∴ ， ∴BC= ， ∴ . 第37课时 与圆有关的综合题 【方法总结】 （1）看到求圆的切线，想到：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径； （2）看到圆中的三角函数，想到三角函数一般在直角三角形中使用，直径所对的圆周角是直角； （3）看到过圆外的同一点的两条切线，想到切线长定理； （4）看到垂直于弦的直径，想到垂径定理. 【失分盲点】 （1）易忽视圆中的两条半径构成等腰三角形这个条件； （2）在证明一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点未确定时，易犯证明直线与半径垂直的错误； （3）在圆中的三角形，易犯不说明其为直角三角形就应用三角函数解决问题的错误. 第37课时 与圆有关的综合题 真题演练?层层推进 1.（2014广东梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB= ，求⊙O的面积． 【答案】 （1）证明：如图，连接OC， ∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB， ∵以O为圆心的圆过点C，∴AB与⊙O相切； （2）解：∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∵AB= ，C是边AB的中点， ∴AC= AB= ， ∴OC=AC?tan∠A= =2， ∴⊙O的面积为：π×22=4π． 第37课时 与圆有关的综合题 2.（2013广东）如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 【答案】 (1)∵AB=DB， ∴∠BDA=∠BAD， 又∵∠BDA=∠BCA， ∴∠BCA=∠BAD. (2)在Rt△ABC中，AC= ， 易证△ACB∽△DBE，得 ， ∴DE= 第37课时 与圆有关的综合题 【答案】 (3)连结OB，OD则OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAC+∠BCD=180°， 又∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠BCE=∠BAC， 由(1)知∠BCA=∠BAD， ∴∠BCE=∠OBC， ∴OB∥DE， ∵BE⊥DE， ∴OB⊥BE， 又OB为半径， ∴BE是⊙O的切线