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第九章：定态微扰论
[1]设非简谐振子的哈密顿量为：
ˆ 2 d 2 1 2 2
H 2 0 x （ 为常数）
2 dx 2
ˆ h d 2 1 2 2 2
取 H 0 2 0 x ，H x ，试用定态微扰论求其能量及能量本征函
2 dx 2
数。
1
（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1 公式 W ，
k kk
从§3.3 知道一维谐振子波函数是：
2 2
x
2 ，
x e H x
k k k
2 !
k
但 （1）
1 * 3
E x dx
k k k
x
x （2 ）
2 2
3 x 2
k x e H k x dx
2 !
k
x
但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而 2 必
H x
n
定是个偶函数。（2 ）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：
E 1 0
k
一级波函数修正值：据§9.1 公式[12b]
H /
0 / nk (0)
（3）
k k E (0) E (0) n
k n
(0) 1
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