四川大学随机信号第四讲习题解答.ppt

4.7解： 本题与 4.5情形相反： 由维纳辛钦定理并利用傅立叶变换的性质得： 图见书上表4.1 4.12 解：现已知： 基本信号的傅立叶变换： 由维纳辛钦定理可得： 4.14 利用傅立叶变换的时移性质可得： 4.16 解： 由维纳辛钦定理可得： 所以： 可得： （3） 同理可得： 因此： 由题可知，该随机过程是随相周期过程，所以它是宽平稳的。 首先求出该随机过程的均值和方差： 接下来的关键是求出基本脉冲波形的频谱。 4.24 解： 如果参考书上例4.10，认为基本脉冲波形为如下图： 这是错误的参考，因为该随相周期过程不同于例4.10所提二元信号波形，它的幅度，极性不再是随机的，而是确定的。随机性仅仅表现在它的相位！ 从另外一个角度也可以看到，前面提及的基本波形只包含半个周期，而基本脉冲波形应包含一个周期。 有理由认为，正确的基本脉冲波形如下所示： 有了基本脉冲波形后，可求出它的频谱为： 将上式代入书上公式（4.7.3）可得： 在Ｍatlab软件上可画出它的图形为： 　从该图可以看出，该随机过程虽然是周期的，但它并没有离散谱线，这是因为它的均值为零， 首先求出均值与方差： 接下来的关键仍然是确定基本脉冲波形 从示意图可以看到，右图即为新随机过程的基本脉冲波形 可求的基本脉冲波形的频谱为： 将上式代入4.7.3得： 第四章随机信号的功率谱密度 4.1 功率谱密度 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 4.3 功率谱密度的性质 4.4 互谱密度及其性质 4.5 白噪声与白序列 4.6 功率谱估值的经典方法 4.1 功率谱密度 确定时间函数 频谱 能量 能谱密度 时域内信号的能量等于频域内信号的能量 4.1 功率谱密度 随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。 Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。 随机过程 4.1 功率谱密度 随机过程 随机过程X(t)的平均功率为： 功率谱密度仅表示X(t)的平均功率在频域上的分布，不包含任何相位信息。 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 维纳－辛钦定理 成立条件是Rx(τ)和Sx(ω)绝对可积 即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成分 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 当τ=0时 是平稳随机过程X(t)的平均功率。 可知 维纳－辛钦定理 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 (1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的δ-函数表示。该δ-函数的权重即为直流分量的功率。 我们借助于δ-函数，将维纳-辛钦公式推广应用到含有直流或周期性成分的平稳过程中来。 维纳－辛钦定理 (2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生δ-函数。 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换 4.3 功率谱密度的性质 性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数 性质3： Gx(ω)是偶函数，即 性质4： 4.3 功率谱密度的性质 性质5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密 度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。它应具有如下形式： 4.4 互谱密度及其性质 定义实过程X(t)和Y(t)的互谱密度函数为 互谱密度 4.4 互谱密度及其性质 1. 互谱密度性质 2. Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]实部是ω的偶函数； Im[GXY(ω)]和Im[GYX(ω)]虚部是ω的奇函数。 3.若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有 4.4 互谱密度及其性质 4. 若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，RXY(τ)绝对可积， 则互谱密度和互相关函数构成傅里叶变换对，即: 4.4 互谱密度及其性质 5. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则 6. 互谱密度的幅度平方满足 4.4 互谱密度及其性质 相干函数用于数据分析，系统辨识和功率谱估计 相干函数定义 4.5 白噪声 利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为： 白噪声定义 4.5 白噪声 上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。 白噪声特性 与连续的白噪声过程