工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new.ppt

3.5 柯西积分公式 一、问题提出 二、柯西积分公式-围线积分 三、典型例题 四、小结 * 一、问题的提出 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变. * * 二、柯西积分公式 定理 证 * 估值不等式 * 根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有 [证毕] ---柯西积分公式 * 关于柯西积分公式的说明: (1) 函数在C内部的值完全由它在C上的值而定. (这是解析函数的又一特征) (2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. * 三、典型例题 例1 解 由柯西积分公式 * * 例2 解 由柯西积分公式 * 例3 解 由柯西积分公式 * 例４ 解 根据柯西积分公式知, * 例5 解 根据柯西积分公式知, * 得 * 课堂练习 答案 * 四、小结 小结： 柯西积分公式是研究解析函数的重要工具. 它的证明基于柯西–古萨基本定理。 重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可用它在边界上的值通过积分表示。 柯西积分公式: 3.6 解析函数的高阶导数 一、主要定理-围线积分 二、典型例题 三、小结与思考 * 一、主要定理 定理 问题: 解析函数高阶导数及求解方法。 * 由导数的定义, 从柯西积分公式得 证 数学归纳法 * * * 再利用以上方法求极限 即，一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 可证 [证毕] * 说明: 1 解析函数的高阶导数依然是解析函数 2 导数的取值可用函数在边界上的值通过积分 来表示. 3 高阶导数公式的作用: 不在于求导, 而在于求积分. * 三、典型例题 例1 解