图形学第6讲曲线曲面.ppt

(3)连续性 若一节点矢量中节点均不相同，则k阶B样条曲线在节点处为k-1阶连续。 B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。 重节点问题?:若在连接点的重复度为r，则k次B样条曲线在节点处为k-r次连续的。 4 导数 5．几何不变性 6．变差减少性 4 非均匀有理B样条曲线 非均匀有理B样条曲线（Nonuniform Rational B-Spline，NURBS）。其节点矢量为T＝[t0, t1, … , ti, …, tn+m]，节点个数是n+m+1（n为控制项的点数，m为B样条基函数的次数）。对于非周期NURBS曲线，常取两端节点的重复度为i，即 定义 称下列曲线是以P1 P2···Pn为控制多边形，以w1w2···wn为权的m次有理B样条曲线。 下面以二次NURBS曲线如何表示二次曲线为例进行说明：定义二次开放均匀B样条，取三个控制顶点。则均匀节点矢量T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为： 则有理B样条的表达式为： NURBS曲线也可用有理基函数的形式表示： 其中 称为有理基函数。 具有m阶B样条基函数类似的性质： （1）普遍性（2）局部支承性（3）权性 （4）可微性 3.NURBS曲线的优点 （1）既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。 （2）修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。 （3）具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细分、升阶等)。 （4）对几何变换和投影变换具有不变性。 （5）非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。 [t0,t1] [t1,t2] [t2,t3] [t3,t4] [t4,t5] 区间 1阶基函数 2阶基函数 3阶基函数 4阶基函数 5阶基函数 节点矢量：由于每个基函数Nik需要的支撑区间是[ti,ti+k]，考虑基函数的下标从0开始到n，所以节点矢量为[t0,tn+k] 共n-k+2段 有效区间：[ti,ti+1]区间上定义k个非零基函数(Ni-k+1,k~Ni,k) 因此，有效区间的下标应满足i=k-1 与控制点对应，有效基函数下标应满足：i=n 故：总有效区间为[tk-1,tn+1] 3阶B样条曲线示例 T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3] 1.B样条曲线基函数的次数与控制点的个数无关. 2.B样条曲线的基函数具有局部支承性，即其只在其支承区间内非零。 (3)B样条曲线基函数的特点 2 B样条曲线的分类 B样条曲线按照节点矢量中的节点分布情况不同，可以将B样条曲线分为三类： 均匀B样条曲线 开放均匀B样条曲线 非均匀B样条曲线 (1)均匀周期性B样条曲线 当节点沿参数轴均匀等距分布， 即tk+1-tk=常数时，表示均匀B样条函数。 例如节点矢量可取为： T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)， T=(0,1,2,3,4,5,6,7)等。 下图是三次均匀B样条基函数 t B k , 3 ( t ) 2 1 4 3 5 1 四段三阶均匀 B 样条基函数 B 0,3 (t) B 1,3 (t) B 2,3 (t) B 3,3 (t) 均匀B样条的基函数呈周期性,即基函数在定义域内各个节点区间上都具有相同的形状。 均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，k=3，则n+k=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： ? 曲线的起点和终点值： 均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数： 说明： 对于高次多项式，起点和终点是k-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。 分段三阶B样条曲线是一条抛物线；有n个顶点定义的三阶B样条曲线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在接点处达到一阶连续。 三次(四阶)均匀Ｂ样条曲线 假设有n个控制点,k=4,n+k=n+4,因此,可以取节点矢量为T=(0,1,2,3,4,5,6,…,n+4),B样条基函数为: 上式即为区间 上3次均匀B样条曲线的矩阵表达式。 P(3) P(4) P(5) (2)开放均匀B样条曲线 均匀B样条曲线的不足: 均匀B样条曲线的首末端点不与控制顶点的首末点重合。当均匀B样条的次数高于3阶时，在端点处也不再与控制多边形相切。 开放均匀B样条与均匀B样条的节点矢量的差别在于两端节点。 K阶开放均匀B样条的节点矢量中两端节点具有重复度为K，所有内节点均匀分布。因此除两端的k个节点区间外，n次开放均匀B样条与均匀B样条基函数具有相同的图形。 2．开放均匀B样