图形学第7讲形造型.ppt

7.4 形 造 型 　一、分形的概念 　分形是最近二十多年来发展起来的新学科。分形 的原文是 Fractals，是由著名数学家B.Mandelbrot 于1975年用拉丁词根构造的单词，他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法：分形几何。 问题的提出 （1)自然界中存在着不可胜数的不规则形体。 (2) 传统的几何方法对它们进行描述，主要手段是用规则形体去逼近。结果，与现实是有很大的差距， (3)并且这种方法需要大量的数据，所以有时甚至是不可能的。 　 思想：当用计算机模拟自然景物时，最主要的是 所生成的对象确实使人感受到是预期的那一类，而不 必非是某个具体的个体。因此，为此目的，不必使用 大量的数据。是很自然的。 分形几何学为自然景物的描述和计算机模拟提供了强有 力的数学工具。因此，分形被称为大自然的几何学。 分形几何物体具有一个基本特征：无限的自相似性。 无限的自相似性是指物体的整体和局部之间细节的无限重现。 分形物体的描述又包含： 分形维数，又称分数维数 生成过程：初始生成元（initiator）、生成元（genenator） 　分形的典型几何性质 　（１）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它 具有精细的结构。 　（２）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满 足于某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （３）分形集具有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的自相似。 　（４）一般说来，分形集的维数是一个分数，所以分 形也称为分数维； 　（５）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常 简单的方法定义，可以用变换的迭代产生。 　分形的四种构成方法 　（１）基于Ｌ系统的分形模型 　（２）迭代函数系统模型 　（３）粒子系统模型 　（４）随机插值模型 　 二、典型的分形模型 １ .Koch 曲线 　( 1 ) Koch 曲线的生成规则 　 Koch 曲线是 Von Koch 于1904年第一次描述的。它 的构造是：迭代初始把原线段去掉中间的三分之一， 代之以底边在被去线段上的等边三角形的两腰；以后每 一步的迭代都是这样的重复。　 从以上过程可以清楚地看出，Koch曲线（其它分形集也是如此）可以由简单的图，称为 生成元 ，迭代产生。在这里，Koch曲线的生成元是： 　 　在这里，假如我们约定好记号，就可以把Koch曲线 的生成元的构造用一个字符串符号表示出来。设： 　F　从当前点开始，向前移动一距离d 　L　向左（逆时针）转一定角? 　R　向右（顺时针）转一定角? 　则Koch曲线的生成元可表示为： 　T＝ F L F R R F L F 　（ ?＝60o） 　曲线由把每一折线段反复迭代成缩小比例的三分之一的 生成元而成。即字符串T＝ F L F R R F L F 中的每一个F 又是字符串 T 本身。 而每次迭代后，生成的曲线长是原来曲线长的三分之四倍。 可见，无数次迭代后，Koch 曲线将变得具有无限长度。并且， Koch 曲线是永远不自相交的。 　 ( 2 )　生成Koch 曲线的程序 　函数 side( )，用于绘制Koch 曲线的生成元，函数中所用 的参数为： 　xa, ya, xb, yb :线段的起点和终点坐标； 　a : 线段的方向角； 　n : 迭代次数（递归深度）。 　void side ( xa, ya, xb, yb, a, n ) int n ; float xa, ya, xb, yb, a ; { float x1, y1, x2, y2, x3, y3, dl, a1, a2 ; int xs, ys, xe, ye ; if (n==0) { xs=(int)(xa+0.5) ; ys=(int)(ya+0.5) ; xe=(int)(xb+0.5) ; ye=(int)(yb+0.5) ; moveto(xs,480-ys) ; lineto(xe,480-ye); } else　 　{ 　 dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ; x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ; side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ; a1=a+AF ; x2=x1+dl*cos(a1) ; y2=y1+dl*sin(a1) ; side(x1, y1, x2, y2, a1, n-1) ; 　a2=a1-2.*AF