圆中证明{附答案}.doc

圆的证明 题型一 圆的 思路导航 判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： a. 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线. b. 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线. c. 如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. d. 如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距） 连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径） 既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决） 典题精练 【例】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （3）如图，连接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为． .求⊙Ｏ的半径。 解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM=MD=AD/2=1. ∵PQ切⊙Ｏ于T， ∴OT⊥PQ．又∵AC⊥PQ，OM⊥AC， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°， ∴四边形OTCM为矩形．∴OM=TC=， ∴在Rt△AOM中，． 即⊙Ｏ的半径为2． 【例】如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD. 证明：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE. ∵AC=AE-CE，BD=BE-DE. ∴AC=BD. 【例】如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径． 解：过点O作OD⊥AB，垂足为点D，连接OA。 ∵AB=12，∴AD=AB=×12=6。 ∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8。 在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8， ∴。 答：⊙O的半径为10。 垂径定理，平行线之间的距离，勾股定理。 过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长。 cm，直线⊥CO，垂足为H，交⊙O于A、B两点，AB=16 cm，直线平移多少厘米时能于⊙O相切？ 解：连接OA， ∵⊥CO，∴OC平分AB∴AH=8cm. 在Rt△AHO中，OH=6cm. ∴CH=4cm，DH=16 cm. 答：直线向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙O相切。 【例】如图4，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B. 求证：PB是⊙O的切线. 证明：连接OA、OB. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°. ∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP. ∴∠OPB=∠OAP=90°. ∴PB是⊙O的切线. 【例】直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB的长是多少厘米？ 解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC=BC=AB. 在Rt△OAC中，OA=×52=26厘米，OC=26-16=10厘米， ∴AC=24厘米. ∴AB=2AC=48