题库-特殊三角形存在性问题.pdf

类型五　三角形形状及 相似存在性问题 １．如图，已知抛物线经过原点Ｏ，顶点为Ａ（１，１）， 且与直线ｙ＝ｘ－２交于Ｂ，Ｃ两点． （１）求抛物线的解析式及 点Ｃ的坐标； （２）求证： ＡＢＣ是直角三 △ 角形； （３）若点 Ｎ为ｘ轴上的一 个动点，过点 Ｎ作 ＭＮ ｘ 第１题图 ⊥ 轴与抛物线交于点Ｍ，则是否存在以Ｏ，Ｍ，Ｎ为 顶点的三角形与 ＡＢＣ相似，若存在，请求出点 △ Ｎ的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（１）由题可知，抛物线的顶点为Ａ（１，１），设 ２ 抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－１）＋１， ∵抛物线经过原点Ｏ（０，０）， ２ ∴将Ｏ（０，０）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）＋１，得０＝ａ（０ ２ －１）＋１， 解得ａ＝－１， ２ ２ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－（ｘ－１）＋１＝－ｘ ＋２ｘ， ∵直线与抛物线交于Ｂ、Ｃ两点， ｙ＝ｘ－２ 联立得{ ２ ， ｙ＝－ｘ＋２ｘ ｘ＝２ ｘ＝－１ 解得{ 或{ ， ｙ＝０ ｙ＝－３ ∴Ｂ（２，０），Ｃ（－１，－３）； （２）如解图 ，过点Ａ、Ｃ作ｘ轴的平行线，过点 ① Ｃ，Ｂ作ｙ轴的平行线，交于点Ｆ、Ｃ、Ｅ、Ｄ． ∵Ａ（１，１），Ｂ（２，０），Ｃ（－１，－３）， ∴ＡＦ＝２，ＣＦ＝４，ＣＤ＝３， ＢＤ＝３，ＢＥ＝１，ＡＥ＝１， 在 Ｒｔ ＡＢＥ 中，ＡＢ ＝ △ ２ ２＝２， 槡ＡＥ＋ＢＥ 槡 第１题解图① 在 Ｒｔ ＢＣＤ 中，ＢＣ＝ △ ２ ２＝３２， 槡ＢＤ ＋ＣＤ 槡 在ＲｔＡＣＦ中，ＡＣ＝ ２ ２＝２５， △ 槡ＡＦ＋ＣＦ 槡 ２ ２ ２ ２ 在 ＡＢＣ中，ＡＢ ＋ＢＣ＝（ ）＋（３２）＝２０， △ 槡２ 槡 ２ ２ ＡＣ＝（２５）＝２０， 槡 ２ ２ ２ ∴ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＣ， ∴ ＡＢＣ为直角三角形； △ 【一题多解】如解图 ，过 ② 点Ｂ作ｙ轴的平行线ＨＧ， 过点Ａ作ＡＨ ＢＨ于点Ｈ， ⊥ 过点Ｃ作ＣＧ ＢＧ于点Ｇ， ⊥ ∴ＡＨ＝ＢＨ＝１，ＢＧ＝ＣＧ＝ ３， 第１题解图② ∴ ＡＢＨ与 ＢＣＧ均为等腰直角三角形， △ △ ∴ ＡＢＨ＝ ＣＢＧ＝４５°， ∠ ∠ ∴ ＡＢＣ＝１８０°－４５°－４５°＝９０°， ∠ ∴ ＡＢＣ是直角