数学建模—微分方程之预测模型.ppt

背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1 如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1 t2 0 t B B(t2) 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 1）0?t?t1, dB/dt 与 t成正比，系数? (火势蔓延速度） 2）t1?t?t2, ? 降为?-?x (?为队员的平均灭火速度） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 假设1）的解释 ? r B 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.