数学建模(微积分)三.ppt

数学建模之微积分模型(三) 价格竞争模型 广告决策 宁波职业技术学院数学教研室 数学建模讲座 宁波职业技术学院数学教研室 数学建模讲座 曹勃 　　森林失火了，消防站接到报警后派多少消防员前去救火呢？派的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越大。所以，需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目。 问题分析 　　损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目上，队员越多，灭火越快，救援费除与消防员人数有关外，也与灭火时间长短有关。 问题背景 森林救火数学模型 　　记失火时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1,灭火时刻为t=t2,设在时刻t森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁面积为B(t2).建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设。 　　研究　　比B(t)更为方便与直接。　是单位时间 烧毁面积，表示火势蔓延的程度。在消防员到达之前， 即　　　　，火势越来越大，即　　随t的增加而增 加；开始救火后，即　　　　如果消防队员救火能 力足够强，火势会越来越小，即　　减小，并且当 t=t2时， 救援费用可分为两部分： 　　（1）、灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火所用的时间均有关； 　　（2）、运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关 模型假设 　　需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程 度　　的形式作出假设。 　（1）、损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比，比 例系数为c1, c1即烧毁单位面积的损失费； 　（2）、从失火到开始救火这段时间　　　　内， 火势蔓延程度　　与时间t成正比，比例系数　称为 火势蔓延速度； 　　（3）、派出消防员x名，开始救火以后（　　） 火势蔓延速度降为　　　　，其中　可视为每个队 员的平均灭火速度，显然，应有 （4）、每个消防队员单位时间的费用为c2,于是，每 个队员的救火费用是c2(t2-t1);每个队员的一次性支出是c3 模型建立 显然，　　　　 而　满足 根据假设条件(2)、(3)，火势蔓延程度　在 线性地增加，在　　　　线性地减少，如图3所示，记 时　　　。烧毁面积　　　　　　　恰好是图3中 三角形面积， t t1 t2 b 0 图3 （1） 于是 （2） 根据假设条件（1）、（4），森林损失费为 救援费为　　　　　　　　　，将（1）、（2)代入， 得救火总费用为 问题归结为求x，使C(x)达到最小。 令 ，可以得到应派出的队员人数为 结果解释： 　　首先，应派出队员数由两部分组成，其中一部分　　 是为了把火扑灭所须的最低限度。因为　是火势蔓延速 度，而　是每个队员的平均灭火速度，所以这个结果是 明确的。从图3中也可以看出，只有当　　　时，斜率为 的直线才会与t轴有交点t2. 　　其次，派出队员数的另一部分，即在最低限度之上的 人数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度和救援费 用系数增大时，队员数减少；当火势蔓延速度开始救火时 的火势中损失费用系数增加时，队员增加。 问题描述 两个液化气站彼此激烈竞争。甲液化气站某天突然实行“降价销售” ，吸引走很多乙液化气站的顾客。乙液化气站为挽回流失的顾客决定马上降价。如何确定合适的价格，既可以同甲液化气站竞争，又可以获取尽可能多的利润？ 问题分析 建立一个描述“价格战”的价格竞争模型，并站在乙液化气站的立场为其制定对策。 x－ 乙液化气站的销售价格(元/瓶)； y－ 甲液化气站的销售价格(元/瓶)； W－ 液化气的成本价格(元/瓶)； L－ 乙液化气站在价格战之前的销售量(瓶/年)； P－ 液化气的正常销售价格(元/瓶)。 符号假设： 其中，P由其他液化气站的一般销售价格确定，定为常数。 建立模型 乙液化气站的销售量受以下各因素影响： 乙液化气站的销售量为： 乙液化气站的利润函数为： (1) 两液化气站之间的销售价格之差； (2) 乙液化气站的销售价格与正常价格之间的差值 (3) 甲液化气站的销售价格与正常价格之间的差值 模型求解 将y作为输入参数，x作为变量： 模型检验 用以下数据检验上面模型： 注意：价格竞争前的利润为 (40-30)×20000. 某公司可通过电视及户外两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电视广告费用 (万元)及户外广告费用 (万元)之间的关系 有如下经验公式： （1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）在提供的广告费用为1.5万元的情况下，求相 应的最优广告策略. 2 1 2 1 2 1 2 2 10 2 8 32 14 15 x x x x x x R - -