数学归纳法的原理及应用.doc

浅谈数学归纳法的原理及应用 姓 名： 王磊峰 单 位：砀山县豆集学区范套小学…，这里有明显的推理过程，但这种推理只是简单枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理，或者说只是一种寻求结论的手段，它只是作为一种猜想或假说，而不是可靠的，尽管如此，他仍为数学归纳法的产生奠定了一定的基础。 可靠的归纳推理是欧几里得对系数个数无穷的证明，虽然其中递推过程不甚明显，但基本思想却是按递推归纳原理指导的。肯定地说，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供了原形，促使人们加深了对数学归纳法的理解。 16世纪，经过文艺复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性。意大利数学家毛罗利科首先对全体自然数有关的命题的证明做了深入考察，他认为递归推理是指首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去验证命题具有后继数也是真的。于是，根据递推特性，命题对于第一个自然数的后继数为真，则对于第二个自然数也为真；对于第二个自然数为真，则对于第三个自然数也为真。如此类推，直到将整个自然数穷举完毕。1575年毛罗利科在他所著的《算术》一书中明确的提出这一思想方法，他是现代数学归纳法表述的模式，后来由于帕斯卡的工作而得到提炼和升华。 数学归纳法的发展阶段 数学归纳法有时也叫逐次归纳法或完全归纳法，1656年，英国数学家沃利斯在牛津出版了他的重要著作《无穷算术》，在此书中他介绍了归纳法的使用。1713年在雅各比·伯努利的巨著《猜度术》介绍了详细的对沃利斯的归纳法的改进，并应用从到的论证来证明二项式定理，因此，雅各比·伯努利应作为数学归纳法的另一发明者。1838年英国数学家德摩根在伦敦出版的《小百科全书》的引言中使用了术语“数学归纳法”，这是我们所能看到的最早一次使用。 1.3 数学归纳法的成熟阶段 1889年，意大利数学家匹阿诺发表《算术原理新方法》，把数学归纳法奠基在下述事实的基础上：在任一整数之后接着便有一个，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤便能达到任意选定的整数。自然数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确。 数学归纳法的产生和发展的历史，一定程度上反映了数学产生和发展的历史，而且总是与人类文明的进程休戚相关，同时也显示出人们认识世界、改造世界的力量。 数学归纳法的原理 2.1 数学归纳法的基本形式 用数学归纳法证明一个命题的步骤可分为两步： 验证当取某一自然数（即对于此命题的“最小自然数”）时命题成立，说明命题在特殊情况下是正确的，其根据是自然数集的“最小数原理”——即自然数的每一非空子集必有最小数。这步可称为归纳奠基，是论证的基础，是命题得以成立的起点。 假设当取某一自然数（）使结论正确的前提下，严格推导出当取的后继自然数使命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。这步称为归纳递推，其根本构思是“找出在时的结果”。因此，归纳推理的基本构思在于使用归纳假设。 完成这两个步骤以后，注意到证明步骤的完整与书写格式的规范，才可以下结论，该命题对于一切自然数（）都成立。 2.2 数学归纳法的理论依据 数学归纳法原理实际上是这样一个定理： 设有一个与自然数有关的命题，如果满足： 当 时，成立； 假设时，成立。则时也成立； 那么，命题对于的所有自然数都成立。 与自然数有关的命题一般有无穷多命题，，…，，…，组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的实质在于：将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“”为真和“”为真，则“”为真，从而达到证明的目的。 数学归纳法的依据来源于揭示自然数根本性质的皮阿诺公理：自然数是满足下述一组公理的集合 1是自然数； 对于N中的自然数，都可以在 N中找到一个确定的后继数； 对于任意自然数，≠1，即没有以1为后继数的自然数； 任意两个自然数和，若＝，则＝； N的任一子集若满足性质：（）1S，（）由S可推出S，则S＝N. “后继”关系是自然数的重要特征，即每一个自然数有且仅有一个“后继”，而除了1以外的每个自然数也必然是和只能是一个自然数的“后继”，这应该是数学归纳法中第二步——归纳推理的依据。 可见，皮阿诺公理中的第五条正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳原理。 由数学归纳原理可导出数学归纳法原理：“对于某一个与自然数有关的命题，如果：（1）当取最小自然数时命题为真；（2）再假设为真的基础上，可以推出亦真，那么就能断言对所有自然数，命题都成立”。 2．数学归纳法的原理推广 数学归纳法具有多种形式，无论何种形式其核心都是必不可少的两个步骤，灵活把握这两个步骤，便能构造出形式多样的数学归纳法。 设{}是与整数有关的一列命题且满足一下条件：（）成立；（）成立成立；则对任一整数命题都成立