数学建模讲义03.ppt

模型求解 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 ? ? 模型解释 生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉半径rmax, 毛细血管半径rmin 大动脉到毛细血管有n次分岔 观察：狗的血管 血管总条数 推论 n=？ q2 U(q1,q2) = c q1 0 3.6 消费者均衡 问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设甲乙数量为q1,q2, 消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) ~ 效用函数 已知甲乙价格 p1,p2, 有钱s，试分配s,购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大. s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 模型及 求解 已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大 几何解释 直线MN: 最优解Q: MN与 l2切点 斜率 · M Q N · · 结果解释 ——边际效用 消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。 效用函数U(q1,q2) 应满足的条件 A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 解释 B的实际意义 效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数 ?, ? 分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。 购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数 ?,? 分别表示对甲乙的偏爱程度。 思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况 效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 3.7 冰山运输 背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。 建模准备 1. 日租金和最大运量 船 型 小 中 大 日租金（英镑） 最大运量（米3） 4.0 6.2 8.0 5?105 106 107 2. 燃料消耗（英镑/千米） 3. 融化速率（米/天） 与南极距离 (千米) 船速(千米/小时) 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 冰山体积(米3) 船速(千米/小时) 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 建模准备 建模目的 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较 模型假设 航行过程中船速不变，总距离9600千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同 到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水 建模分析 目的地水体积 运输过程融化规律 总费用 目的地冰体积 初始冰山体积 燃料消耗 租金 船型, 船速 船型 船型, 船速 船型 模型建立 1. 冰山融化规律 船速u (千米/小时) 与南极距离d(千米) 融化速率r(米/天） r是 u 的线性函数； d4000时u与d成正比d4000时u与d无关. 航行 t 天 第t天融化速率 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 1. 冰山融化规律 冰山初始半径R0，航行t天时半径 冰山初始体积 t天时体积 总航行天数 选定u,V0, 航行t天时冰山体积 到达目的地时冰山体积 2. 燃料消耗 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8