数学模型 第四版 姜启源 第3章 简单的优化模型.ppt

购买两种商品费用之比只取决于λ,μ, 与价格无关. u(x1,x2)中?,? 分别度量两种商品的效用或者偏爱. 实际应用时根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数. 效用函数u(x1,x2)几种常用的形式 效用最大化模型应用举例 例1 征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法: 销售税 ~ 根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 收入税 ~ 根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设甲乙两种商品的单价为p1, p2，消费者准备花的钱为y, 等效用线为u (x1, x2)=c，消费点为Q(x1, x2) . l1 Q1 B1 x1* l2 Q2 B2 A2 x1 B A Q u(x1, x2) =c O x2 x1 l 例1 征销售税还是征收入税 对甲商品征销售税, 税率为p0 征税前的消费点Q 消费线AB1, B1在B的左边 AB1与l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改为征 收入税 政府得到的销售税额 p0x1* 征收的税额与销售税额 p0x1*相同 消费线A2B2与l2相切于Q2, 可证B2在B1的右边. l2在l1上？ l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, 对消费者来说征收入税比征销售税好. 例2 价格补贴给生产者还是消费者 政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的两种价格补贴办法： 把补贴款直接给生产者 把补贴款发给消费者而让商品涨价 ~鼓励商品生产,对消费者无影响 让甲商品价格涨到p1+p0, 补贴消费者多花的钱 p0 x1*,使仍达到消费点Q l Q A B u (x1, x2) =c O x1 x2 l? Q? A B x1 x2 补贴前的消费点Q 消费线 过Q, 与l相切于Q′ 的效用函数值大于Q x1 x1* , x2 x2* 对消费者更有利 对甲商品生产不利 3.5 生产者的决策 背景 根据经济学的又一条最优化原理——“生产者追求最大利润” ，用数学建模的方法帮助生产者或供销商做出决策. 生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，按照商品的销售情况制订价格. 在市场经济中“消费者追求最大效用”，生产者呢？ 最大利润模型 x~产品产量 f (x) ~ 边际产值—— x变化一个单位时产值的改变量 c(x) ~ 边际成本—— x变化一个单位时成本的改变量 最大利润在边际产值等于边际成本时达到. 假定产品可以全部销售出去变成收入 f(x) ~ 产值(收入), c(x) ~ 成本 利润 达到最大利润的产量 x* 在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，使利润最大. 产量x等于销量，数量无限制. 收入与x 成正比，系数 p 即价格. 成本与 x 成正比，系数 c 即边际成本. 销量x 依于价格 p, x(p)是减函数. 简化假设 求p使 r(p) 最大 最优定价模型 利润 c / 2 ~ 成本的一半 b ~弹性系数——价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度） a ~ 绝对需求( p很小时的需求) b ? ? p*? a? ? p* ? a, b可由p和x的统计数据作拟合得到 ~ 利润达到最大的定价 利润 最优定价模型 投资费用一定下的产值最大模型 x1, x2 ~甲乙产品的产量 c1, c2 ~甲乙产品的单位成本 s~总投资费用 f (x1, x2) ~产值函数 在条件 下求x1, x2使产值 f (x1, x2) 最大. Q A B s/c2 s/c1 · · · x1 x2 x2 f(x1,x2) = v x1 O v增加 等产值线f (x1, x2)=v单调减、下凸、互不相交. 几何分析 投资线AB必与一条等产值线相切于Q点. 与效用最大化模型类似 下凸~稀缺产品的产值更高 投资费用一定下的产值最大模型 最优解(x1, x2)满足 在条件 下求x1, x2使产值 f (x1, x2) 最大. 用拉格朗日乘子法求条件极值 ~边际产值 当两种产品的边际产值之比等于它们的价格之比时，产值达到最大. 产值最大与费用最小的对偶关系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) 投资费用一定的产值最大模型 g(s,c)~给定的单位成本c下费用不超过s的最大产值. 产值一定的投资费用最小模型 s(v,c)~给定的单位成本c下产值不低于v的最小费用. 对偶极值问题 只要解决其中之一, 另一个就迎刃而解 成本函数是简单的