数学：直接证法与间接证法-反证法.ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.2反 证 法 * * 复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 这与B撒谎矛盾. 思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法， 同一法也是一种间接证法. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 理论 反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 例1：已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。 证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例题 例2：用反证法证明： 如果ab0，那么 例3 求证： 是无理数。 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； 例3: 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根． 例4(反证法)证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径,求证：弦AB、CD不被P平分。 证明：假设AB，CD相互平分，则四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD ∵ABCD为圆内接四边形 ∴∠ACB +∠ADB ＝180°，∠CAD+ ∠CBD＝180° ∴∠ACB＝∠CAD＝90° ∴弦AB,CD均为直径，与已知矛盾 ∴AB,CD不可能平分 3.特殊结论的反设 至少 n+1 个 至多 n-1 个 至少有一个是 不都是 不小于(≥) 不大于(≤) 反设词 至多 n 个 至少 n 个 都不是 都是 小于() 大于() 原结论词 至少有一个 x, 使…不成立 不存在或至少存在两个 只有有限多个 反设词 对任意 x, 使…恒成立 存在唯一的 有无穷多个 原结论词 例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于1/4 则三式相乘:(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 证明：设(1 ? a)b1/4, (1 ? b)c1/4, (1 ? c)a1/4, * * *